Integrace vs. diferenciace
Integrace a diferenciace jsou dva základní pojmy v kalkulu, které studují změnu. Calculus má širokou škálu aplikací v mnoha oblastech, jako je věda, ekonomika nebo finance, strojírenství atd.
Rozlišení
Diferenciace je algebraický postup výpočtu derivací. Derivace funkce je sklon nebo gradient křivky (grafu) v libovolném daném bodě. Gradient křivky v libovolném daném bodě je gradient tečny nakreslené k této křivce v daném bodě. U nelineárních křivek se může gradient křivky lišit v různých bodech podél osy. Proto je obtížné vypočítat sklon nebo sklon v jakémkoli bodě. Proces diferenciace je užitečný při výpočtu gradientu křivky v libovolném bodě.
Další definice derivátu je „změna vlastnosti s ohledem na jednotku změny jiné vlastnosti.“
Nechť f(x) je funkcí nezávisle proměnné x. Pokud je způsobena malá změna (∆x) v nezávisle proměnné x, je způsobena odpovídající změna ∆f(x) ve funkci f(x); pak poměr ∆f(x)/∆x je mírou rychlosti změny f(x) vzhledem k x. Mezní hodnota tohoto poměru, protože ∆x má tendenci k nule, lim∆x→0(f(x)/∆x) se nazývá první derivace funkce f(x), s ohledem na x; jinými slovy, okamžitá změna f(x) v daném bodě x.
Integrace
Integrace je proces výpočtu buď určitého, nebo neurčitého integrálu. Pro reálnou funkci f(x) a uzavřený interval [a, b] na reálné přímce je určitý integrál a∫b f(x), je definována jako plocha mezi grafem funkce, vodorovnou osou a dvěma svislými čarami na koncových bodech intervalu. Pokud není uveden konkrétní interval, nazývá se neurčitý integrál. Určitý integrál lze vypočítat pomocí anti-derivátů.
Jaký je rozdíl mezi integrací a diferenciací?
Rozdíl mezi integrací a diferenciací je něco jako rozdíl mezi „druhou mocninou“a „odmocninou“. Pokud odmocníme kladné číslo a poté vezmeme druhou odmocninu výsledku, kladná odmocnina bude číslo, které jste odmocnili. Podobně, pokud použijete integraci na výsledek, který jste získali derivováním spojité funkce f(x), povede to zpět k původní funkci a naopak.
Například nechť F(x) je integrál funkce f(x)=x, proto F(x)=∫f(x)dx=(x2 /2) + c, kde c je libovolná konstanta. Při derivování F(x) vzhledem k x dostaneme, F' (x)=dF(x)/dx=(2x/2) + 0=x, takže derivace F(x) je rovna f(x).
Shrnutí
– Diferenciace vypočítá sklon křivky, zatímco integrace vypočítá plochu pod křivkou.
– Integrace je opačný proces diferenciace a naopak.
