Rozdíl mezi integrací a sumací

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-12-17 13:34

Integrace vs. Sumace

Ve výše uvedené středoškolské matematice se integrace a sčítání často vyskytují v matematických operacích. Zdánlivě se používají jako různé nástroje a v různých situacích, ale sdílejí velmi blízký vztah.

Více o Summation

Součet je operace sčítání posloupnosti čísel a operace se často označuje řeckým písmenem velkého sigma Σ. Používá se ke zkrácení součtu a rovná se součtu/součtu posloupnosti. Často se používají k reprezentaci řady, což jsou v podstatě nekonečné sekvence shrnuté. Mohou být také použity k označení součtu vektorů, matic nebo polynomů.

Sčítání se obvykle provádí pro rozsah hodnot, které mohou být reprezentovány obecným termínem, jako je řada, která má společný termín. Počáteční bod a koncový bod součtu jsou známy jako dolní a horní mez součtu.

Například součet posloupnosti a₁, a₂, a₃, a ₄, …, a_n je a₁ + a₂ + a ₃ + … + a_n, které lze snadno vyjádřit pomocí součtového zápisu jako ∑ _i=1 a_{i; i se nazývá sumační index.}

Pro sčítání na základě aplikace se používá mnoho variant. V některých případech může být horní mez a dolní mez uvedena jako interval nebo rozsah, například ∑_1≤i≤100 a_i a ∑_{i∈[1, 100]} a_i Nebo jej lze zadat jako sadu čísel jako ∑_i∈P a_{i, kde P je definovaná množina.}

V některých případech lze použít dva nebo více znaků sigma, ale lze je zobecnit následovně; ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

Součet se také řídí mnoha algebraickými pravidly. Protože vložená operace je sčítání, mnoho společných pravidel algebry lze aplikovat na součty samotné a pro jednotlivé termíny zobrazené součtem.

Více o integraci

Integrace je definována jako obrácený proces diferenciace. Ale ve svém geometrickém pohledu může být také považována za oblast ohraničenou křivkou funkce a osou. Výpočet plochy tedy dává hodnotu určitého integrálu, jak je znázorněno na diagramu.

Zdroj obrázku:

Hodnota určitého integrálu je ve skutečnosti součtem malých proužků uvnitř křivky a osy. Plocha každého pásu je výška × šířka v bodě na uvažované ose. Šířka je hodnota, kterou si můžeme vybrat, řekněme ∆x. A výška je přibližně hodnota funkce v uvažovaném bodě, řekněme f (x_{i). Z diagramu je patrné, že čím menší proužky jsou lepší, proužky se vejdou do ohraničené oblasti, tudíž lepší aproximace hodnoty.}

Obecně tedy lze určitý integrál I mezi body a a b (tj. v intervalu [a, b], kde a<b) zadat jako I ≅ f (x_{1)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, kde n je počet proužků (n=(b-a)/∆x). Tento součet oblasti lze snadno vyjádřit pomocí součtového zápisu jako I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x. Protože aproximace je lepší, když je ∆x menší, můžeme vypočítat hodnotu, když ∆x→0. Proto je rozumné říci I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

Jako zobecnění výše uvedeného konceptu můžeme zvolit ∆x na základě uvažovaného intervalu indexovaného i (výběr šířky oblasti na základě polohy). Pak dostaneme

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

Toto je známé jako Reimannův integrál funkce f (x) v intervalu [a, b]. V tomto případě a a b jsou známé jako horní mez a dolní mez integrálu. Reimannův integrál je základní formou všech integračních metod.

V podstatě je integrace součtem plochy, když je šířka obdélníku nekonečně malá.

Jaký je rozdíl mezi integrací a sumací?

• Součet je sčítání posloupnosti čísel. Obvykle se součet uvádí v tomto tvaru ∑_i=1 a_{i, když jsou výrazy v sekvenci mají vzor a lze je vyjádřit pomocí obecného výrazu.}

• Integrace je v podstatě oblast ohraničená křivkou funkce, osou a horní a dolní mezí. Tuto oblast lze zadat jako součet mnohem menších oblastí zahrnutých do ohraničené oblasti.

• Součet zahrnuje diskrétní hodnoty s horní a dolní hranicí, zatímco integrace zahrnuje spojité hodnoty.

• Integraci lze interpretovat jako zvláštní formu sčítání.

• V metodách numerických výpočtů se integrace vždy provádí jako součet.