Derivační vs diferenciální
V diferenciálním počtu spolu derivace a diferenciál funkce úzce souvisejí, ale mají velmi odlišný význam a používají se k reprezentaci dvou důležitých matematických objektů souvisejících s diferencovatelnými funkcemi.
Co je odvozenina?
Derivace funkce měří rychlost, kterou se mění hodnota funkce, když se mění její vstup. Ve funkcích s více proměnnými závisí změna hodnoty funkce na směru změny hodnot nezávisle proměnných. Proto se v takových případech volí konkrétní směr a funkce se v tomto konkrétním směru diferencuje. Tato derivace se nazývá směrová derivace. Parciální derivace jsou speciálním druhem směrových derivací.
Derivaci funkce s vektorovou hodnotou f lze definovat jako limitu [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] všude tam, kde existuje. Jak již bylo zmíněno, udává nám to rychlost nárůstu funkce f ve směru vektoru u. V případě jednohodnotové funkce se to redukuje na dobře známou definici derivace, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Například [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] je všude diferencovatelný a derivace je rovna limitě, [latex]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], což je rovno [latex]3x^{2}+4[/latex]. Derivace funkcí jako [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] existují všude. Jsou rovny funkcím [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Toto je známé jako první derivace. Obvykle se první derivace funkce f značí f (1) Nyní pomocí této notace je možné definovat derivace vyšších řádů. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] je směrová derivace druhého řádu a značí n th derivaci f (n) pro každé n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], definuje n th derivát.
Co je diferenciál?
Diferenciál funkce představuje změnu funkce vzhledem ke změnám v nezávislé proměnné nebo proměnných. V obvyklém zápisu je pro danou funkci f jediné proměnné x celkový diferenciál řádu 1 df dán vztahem [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. To znamená, že pro nekonečně malou změnu v x (tj. d x) bude existovat změna f (1)(x)d x změna v f.
Použití limitů může skončit s touto definicí následovně. Předpokládejme, že ∆ x je změna x v libovolném bodě x a ∆ f je odpovídající změna funkce f. Lze ukázat, že ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, kde ϵ je chyba. Nyní limit ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (s použitím dříve uvedené definice derivace) a tedy ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Proto je možné dospět k závěru, že ∆ x→ 0 ϵ=0. Nyní, označíme-li ∆ x→ 0 ∆ f jako d f a ∆ x→ 0 ∆ x jako d x, je přesně získána definice diferenciálu.
Například diferenciál funkce [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] je [latex](3x^{2}+4)dx[/latex].
V případě funkcí dvou nebo více proměnných je celkový diferenciál funkce definován jako součet diferenciálů ve směrech každé z nezávislých proměnných. Matematicky to lze uvést jako [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
Jaký je rozdíl mezi derivací a diferenciálem?
• Derivace odkazuje na rychlost změny funkce, zatímco diferenciál odkazuje na skutečnou změnu funkce, když je nezávislá proměnná vystavena změně.
• Derivace je dána vztahem [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], ale rozdíl je dán vztahem [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex].
