Derivační vs. Integrální
Diferenciace a integrace jsou dvě základní operace v Calculus. Mají četné aplikace v několika oblastech, jako je matematika, inženýrství a fyzika. Jak derivace, tak integrál diskutují o chování funkce nebo chování fyzické entity, které nás zajímá.
Co je derivát?
Předpokládejme, že y=ƒ(x) a x0 je v doméně ƒ. Pak limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx se nazývá okamžitá rychlost změny ƒ při x0, za předpokladu, že tato limita existuje konečně. Tato limita se také nazývá derivace at a je označena ƒ(x).
Hodnota derivace funkce f v libovolném bodě x v definičním oboru funkce je dána vztahem limΔx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. Toto je označeno kterýmkoli z následujících výrazů: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
Pro funkce s několika proměnnými definujeme parciální derivaci. Parciální derivace funkce s několika proměnnými je její derivace s ohledem na jednu z těchto proměnných za předpokladu, že ostatní proměnné jsou konstanty. Symbol parciální derivace je ∂.
Geometricky lze derivaci funkce interpretovat jako sklon křivky funkce ƒ(x).
Co je integrální?
Integrace neboli anti-diferenciace je obrácený proces diferenciace. Jinými slovy, je to proces hledání původní funkce, když je dána derivace funkce. Proto integrál nebo anti-derivát funkce ƒ(x) if, ƒ(x)=F (x) lze definovat jako funkci F (x) pro všechna x v oboru ƒ(x).
Výraz ∫ƒ(x) dx označuje derivaci funkce ƒ(x). Jestliže ƒ(x)=F (x), pak ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, kde C je konstanta, ∫ƒ(x) dx se nazývá neurčitý integrál ƒ(x).
Pro jakoukoli funkci ƒ, která nemusí být nutně nezáporná a definovaná na intervalu [a, b], a∫b ƒ(x) dx se nazývá určitý integrál ƒ na [a, b].
Určitý integrál a∫bƒ(x) dx funkce ƒ(x) lze geometricky interpretovat jako obsah oblast ohraničená křivkou ƒ(x), osou x a přímkami x=a a x=b.
Jaký je rozdíl mezi derivací a integrálem?
• Derivace je výsledkem diferenciace procesu, zatímco integrál je výsledkem integrace procesu.
• Derivace funkce představuje sklon křivky v libovolném daném bodě, zatímco integrál představuje plochu pod křivkou.
