Diferenciace vs derivát
V diferenciálním počtu spolu derivace a derivace úzce souvisejí, ale velmi se liší a používají se k reprezentaci dvou důležitých matematických konceptů souvisejících s funkcemi.
Co je odvozenina?
Derivace funkce měří rychlost, kterou se mění hodnota funkce, když se mění její vstup. Ve funkcích s více proměnnými závisí změna hodnoty funkce na směru změny hodnot nezávisle proměnných. Proto se v takových případech volí konkrétní směr a funkce se v tomto konkrétním směru diferencuje. Tato derivace se nazývá směrová derivace. Parciální derivace jsou speciálním druhem směrových derivací.
Derivaci funkce s vektorovou hodnotou f lze definovat jako limitu [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] všude tam, kde existuje. Jak již bylo zmíněno, udává nám to rychlost nárůstu funkce f ve směru vektoru u. V případě jednohodnotové funkce se to redukuje na dobře známou definici derivace, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Například [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] je všude diferencovatelný a derivace je rovna limitě, [latex]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], což je rovno [latex]3x^{2}+4[/latex]. Derivace funkcí jako [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] existují všude. Jsou rovny funkcím [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Toto je známé jako první derivace. Obvykle se první derivace funkce f značí f (1) Nyní pomocí této notace je možné definovat derivace vyšších řádů. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] je směrová derivace druhého řádu a značí n th derivaci f (n) pro každé n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], definuje n th derivát.
Co je diferenciace?
Diferenciace je proces hledání derivace diferencovatelné funkce. D-operátor označený D představuje v některých kontextech diferenciaci. Je-li x nezávislá proměnná, pak D ≡ d/dx. D-operátor je lineární operátor, tj. pro libovolné dvě diferencovatelné funkce f a g a konstantu c platí následující vlastnosti.
I. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
Pomocí D-operátoru mohou být další pravidla spojená s diferenciací vyjádřena následovně. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2a D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Pokud je například F(x)=x 2sin x diferencováno s ohledem na x pomocí daných pravidel, odpověď bude 2 x sin x + x2cos x.
Jaký je rozdíl mezi diferenciací a derivací?• Derivát odkazuje na rychlost změny funkce • Diferenciace je proces hledání derivace funkce. |
