Ortogonální vs. Ortonormální
V matematice se dvě slova ortogonální a ortonormální často používají spolu se sadou vektorů. Termín „vektor“se zde používá v tom smyslu, že se jedná o prvek vektorového prostoru – algebraické struktury používané v lineární algebře. Pro naši diskusi budeme uvažovat vnitřní prostor součinu – vektorový prostor V spolu s vnitřním součinem definovaným na V.
Jako příklad pro vnitřní součin je prostor množinou všech 3-rozměrných polohových vektorů spolu s obvyklým bodovým součinem.
Co je ortogonální?
O neprázdné podmnožině S vnitřního součinového prostoru V se říká, že je ortogonální, právě když pro každé odlišné u, v v S platí [u, v]=0; tj. vnitřní součin uav se rovná nule skaláru ve vnitřním součinovém prostoru.
Například v množině všech 3-rozměrných polohových vektorů je to ekvivalentní tvrzení, že pro každý odlišný pár polohových vektorů p a q v S jsou p a q navzájem kolmé. (Nezapomeňte, že vnitřní součin v tomto vektorovém prostoru je bodový součin. Bodový součin dvou vektorů je také roven 0 právě tehdy, když jsou dva vektory na sebe kolmé.)
Uvažujme množinu S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, která je podmnožinou 3-rozměrných polohových vektorů. Všimněte si, že (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0, 5)=0. Množina S je tedy ortogonální. Konkrétně se o dvou vektorech říká, že jsou ortogonální, pokud je jejich vnitřní součin roven 0. Proto je každý pár vektorů v Sis ortogonální.
Co je ortonormální?
Neprázdná podmnožina S vnitřního součinového prostoru V je považována za ortonormální právě tehdy, když S je ortogonální a pro každý vektor u v S platí [u, u]=1. Lze tedy vidět, že každá ortonormální množina je ortogonální, ale ne naopak.
Například v množině všech 3-rozměrných polohových vektorů je to ekvivalentní tvrzení, že pro každý odlišný pár polohových vektorů p a q v S jsou p a q vzájemně kolmé a pro každé p v S, |p|=1. Je to proto, že podmínka [p, p]=1 se redukuje na p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, což je ekvivalent |p |=1. Dáme-li tedy ortogonální množinu, můžeme vždy vytvořit odpovídající ortonormální množinu vydělením každého vektoru jeho velikostí.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} je ortonormální podmnožina množiny všech 3-rozměrných polohových vektorů. Je snadné vidět, že byl získán vydělením každého z vektorů v množině S jejich velikostí.
Jaký je rozdíl mezi ortogonálním a ortonormálním?
- O neprázdné podmnožině S vnitřního součinového prostoru V se říká, že je ortogonální, právě když pro každé odlišné u, v v S, [u, v]=0. Je však ortonormální, jestliže a pouze pokud je splněna další podmínka – pro každý vektor u v S je [u, u]=1 splněna.
- Jakákoli ortonormální množina je ortogonální, ale ne naopak.
- Jakákoli ortogonální množina odpovídá jedinečné ortonormální množině, ale ortonormální množina může odpovídat mnoha ortogonálním množinám.
