Rozdíl mezi Riemann Integral a Lebesgue Integral

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-12-17 13:34

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integrace je hlavním tématem kalkulu. V širším smyslu lze integraci vnímat jako obrácený proces diferenciace. Při modelování problémů reálného světa je snadné psát výrazy zahrnující derivace. V takové situaci je nutná integrační operace k nalezení funkce, která poskytla konkrétní derivaci.

Z jiného úhlu pohledu je integrace proces, který sčítá součin funkce ƒ(x) a δx, kde δx má tendenci být určitou limitou. Proto používáme integrační symbol jako ∫. Symbol ∫ je ve skutečnosti to, co získáme roztažením písmene s na součet.

Riemann Integral

Uvažujme funkci y=ƒ(x). Integrál y mezi a a b, kde a a b patří do množiny x, se zapíše jako _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). Toto se nazývá určitý integrál jednohodnotové a spojité funkce y=ƒ(x) mezi a a b. To dává plochu pod křivkou mezi a a b. To se také nazývá Riemannův integrál. Riemannův integrál vytvořil Bernhard Riemann. Riemannův integrál spojité funkce je založen na Jordanově míře, proto je také definován jako limita Riemannových součtů funkce. Pro funkci s reálnou hodnotou definovanou na uzavřeném intervalu, Riemannův integrál funkce s ohledem na oddíl x₁, x₂, …, x n _{definované na intervalu [a, b] a t}1_{, t}2_{, …, t n}, kde x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 pro každé i ε {1, 2, …, n}, Riemannův součet je definován jako Σ_{i=o až n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i).

Lebesgue Integral

Lebesgue je jiný typ integrálu, který pokrývá širokou škálu případů než Riemannův integrál. Lebesgueův integrál zavedl Henri Lebesgue v roce 1902. Legesgueova integrace může být považována za zobecnění Riemannovy integrace.

Proč potřebujeme studovat další integrál?

Uvažujme charakteristickou funkci ƒ_{A (x)=}{_{0 if, x ne ε A}^{1 jestliže, x ε A}na množině A. Pak konečná lineární kombinace charakteristických funkcí, která je definována jako F (x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) se nazývá jednoduchá funkce, pokud je E} i _{měřitelné pro každé i. Lebesgueův integrál F (x) nad E je označen} E_{∫ ƒ(x)dx. Funkce F (x) není Riemannově integrovatelná. Proto je Lebesgueův integrál přeformulovaný Riemannův integrál, který má určitá omezení funkcí, které mají být integrovány.}

Jaký je rozdíl mezi Riemann Integral a Lebesgue Integral?

· Lebesgueův integrál je zobecněním Riemannova integrálu.

· Lebesgueův integrál umožňuje spočetné nekonečno nespojitostí, zatímco Riemannův integrál umožňuje konečný počet nespojitostí.