Rozdíl mezi lineární rovnicí a nelineární rovnicí

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-12-17 13:34

Lineární rovnice vs nelineární rovnice

V matematice jsou algebraické rovnice rovnice, které jsou tvořeny pomocí polynomů. Když jsou rovnice explicitně napsány, budou ve tvaru P(x)=0, kde x je vektor n neznámých proměnných a P je polynom. Například P(x, y)=4x⁵ + xy³ + y + 10=0 je algebraická rovnice ve dvou proměnných zapsaná explicitně. Také (x+y)³ =3x²y – 3zy⁴ je algebraická rovnice, ale v implicitní podobě a bude mít tvar Q(x, y, z)=x³ + y³ + 3xy ² +3zy^{4=0, jednou explicitně napsáno.}

Důležitou charakteristikou algebraické rovnice je její stupeň. Je definována jako nejvyšší mocnina členů vyskytujících se v rovnici. Pokud se člen skládá ze dvou nebo více proměnných, součet exponentů každé proměnné bude považován za mocninu členu. Všimněte si, že podle této definice P(x, y)=0 je stupně 5, zatímco Q(x, y, z)=0 je stupně 5.

Lineární rovnice a nelineární rovnice jsou dvě části definované na množině algebraických rovnic. Stupeň rovnice je faktor, který je od sebe odlišuje.

Co je lineární rovnice?

Lineární rovnice je algebraická rovnice stupně 1. Například 4x + 5=0 je lineární rovnice jedné proměnné. x + y + 5z=0 a 4x=3w + 5y + 7z jsou lineární rovnice 3 respektive 4 proměnných. Obecně platí, že lineární rovnice n proměnných bude mít tvar m₁x₁ + m₂x ₂ +…+ m_n-1x_n-1 + m_{n x}n _{=b. Zde x}i _{jsou neznámé proměnné, m}i _{a b jsou reálná čísla, kde každá z m}i _{je nenulové.}

Taková rovnice představuje hyperrovinu v n-rozměrném euklidovském prostoru. Konkrétně dvouproměnná lineární rovnice představuje přímku v kartézské rovině a tříproměnná lineární rovnice představuje rovinu v euklidovském 3-prostoru.

Co je to nelineární rovnice?

Kvadratická rovnice je algebraická rovnice, která není lineární. Jinými slovy, nelineární rovnice je algebraická rovnice stupně 2 nebo vyšší. x² + 3x + 2=0 je nelineární rovnice s jednou proměnnou. x² + y³+ 3xy=4 a 8yzx² + y²+ 2z^{2 + x + y + z=4 jsou příklady nelineárních rovnic se 3 a 4 proměnnými.}

Nelineární rovnice druhého stupně se nazývá kvadratická rovnice. Pokud je stupeň 3, pak se nazývá kubická rovnice. Rovnice stupně 4 a stupně 5 se nazývají kvartické a kvintické rovnice. Bylo prokázáno, že neexistuje analytická metoda pro řešení jakékoli nelineární rovnice stupně 5, a to platí i pro jakýkoli vyšší stupeň. Řešitelné nelineární rovnice představují hyperplochy, které nejsou hyperrovinami.

Jaký je rozdíl mezi lineární rovnicí a nelineární rovnicí?

• Lineární rovnice je algebraická rovnice stupně 1, ale nelineární rovnice je algebraická rovnice stupně 2 nebo vyšší.

• I když je jakákoli lineární rovnice analyticky řešitelná, v nelineárních rovnicích tomu tak není.

• V n-rozměrném euklidovském prostoru je prostor řešení n-proměnné lineární rovnice nadrovina, zatímco u n-proměnné nelineární rovnice je hyperplocha, která není nadrovinou. (Quadrics, kubické plochy atd.)