Lineární rovnice vs kvadratická rovnice
V matematice jsou algebraické rovnice rovnice, které jsou tvořeny pomocí polynomů. Když jsou rovnice explicitně napsány, budou ve tvaru P(x)=0, kde x je vektor n neznámých proměnných a P je polynom. Například P(x, y)=x4 + y3 + x2y + 5=0 je algebraická rovnice dvou proměnných zapsaná explicitně. Také (x+y)3=3x2y – 3zy4 je algebraická rovnice, ale v implicitní podobě. Bude mít tvar Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy2 +3zy4=0, jednou explicitně napsáno.
Důležitou charakteristikou algebraické rovnice je její stupeň. Je definována jako nejvyšší mocnina členů vyskytujících se v rovnici. Pokud se člen skládá ze dvou nebo více proměnných, součet exponentů každé proměnné bude považován za mocninu členu. Všimněte si, že podle této definice P(x, y)=0 je stupně 4, zatímco Q(x, y, z)=0 je stupně 5.
Lineární rovnice a kvadratické rovnice jsou dva různé typy algebraických rovnic. Stupeň rovnice je faktor, který je odlišuje od zbytku algebraických rovnic.
Co je lineární rovnice?
Lineární rovnice je algebraická rovnice stupně 1. Například 4x + 5=0 je lineární rovnice jedné proměnné. x + y + 5z=0 a 4x=3w + 5y + 7z jsou lineární rovnice 3 respektive 4 proměnných. Obecně platí, že lineární rovnice n proměnných bude mít tvar m1x1+m 2x2+…+ mn-1x n-1+ mnxn =b. Zde xi jsou neznámé proměnné, mi a b jsou reálná čísla, kde každá z mi je nenulové.
Taková rovnice představuje hyperrovinu v n-rozměrném euklidovském prostoru. Konkrétně dvouproměnná lineární rovnice představuje přímku v kartézské rovině a tříproměnná lineární rovnice představuje rovinu v euklidovském 3-prostoru.
Co je to kvadratická rovnice?
Kvadratická rovnice je algebraická rovnice druhého stupně. x2 + 3x + 2=0 je kvadratická rovnice s jednou proměnnou. x2 + y2 + 3x=4 a 4x2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 jsou příklady kvadratických rovnic 2 a 3 proměnných.
V případě jediné proměnné je obecný tvar kvadratické rovnice ax2 + bx + c=0. Kde a, b, c jsou reálná čísla, z nichž 'a' je nenulové. Diskriminant ∆=(b2 – 4ac) určuje povahu kořenů kvadratické rovnice. Kořeny rovnice budou skutečně odlišné, skutečně podobné a složité podle toho, jak je ∆ kladné, nulové a záporné. Kořeny rovnice lze snadno najít pomocí vzorce x=(- b ± √∆) / 2a.
V případě dvou proměnných by obecný tvar byl ax2 + by2 + cxy + dx + ex + f=0, což představuje kuželosečku (parabolu, hyperbolu nebo elipsu) v kartézské rovině. Ve vyšších dimenzích tento typ rovnic představuje hyper-plochy známé jako kvadriky.
Jaký je rozdíl mezi lineárními a kvadratickými rovnicemi?
• Lineární rovnice je algebraická rovnice stupně 1, zatímco kvadratická rovnice je algebraická rovnice stupně 2.
• V n-rozměrném euklidovském prostoru je prostorem řešení n-proměnné lineární rovnice nadrovina, zatímco prostorem n-proměnné kvadratické rovnice je kvadrická plocha.
