Transpose vs. Conjugated Transpose
Transpozici matice A lze identifikovat jako matici získanou přeskupením sloupců na řádky nebo řádků na sloupce. V důsledku toho jsou indexy každého prvku zaměněny. Formálněji je transpozice matice A definována jako
kde
V transponované matici zůstává úhlopříčka nezměněna. Ale všechny ostatní prvky jsou otočeny kolem úhlopříčky. Velikost matic se také mění z m×n na n×m.
Transpozice má některé důležité vlastnosti a umožňují snadnější manipulaci s maticemi. Také některé důležité transpoziční matice jsou definovány na základě jejich charakteristik. Pokud je matice rovna své transpozici, pak je matice symetrická. Pokud je matice rovna svému záporu transpozice, pak je matice šikmo symetrická.
Konjugovaná transpozice matice je transpozice matice s prvky nahrazenými jejím komplexním konjugátem. To znamená, že komplexně konjugát (A) je definován jako transpozice komplexně konjugátu matice A.
A=(Ā)T; Podrobně,
kde
a āji ε C.
Je také známá jako hermitovská transpozice a hermitovská konjugace. Pokud je konjugovaná transpozice rovna samotné matici, matice je známá jako hermitovská matice. Pokud je konjugovaná transpozice rovna záporu matice, jedná se o šikmou hermitovskou matici. A pokud je inverzní matice rovna komplexně sdružené matici, matice je unitární.
Podobně všechny speciální komplexně konjugované matice mají také speciální vlastnosti, které lze použít k snadné matematické manipulaci. Konjugovaná transpozice je široce používána v kvantové mechanice a jejích příslušných oborech.
Jaký je rozdíl mezi transpozicí a konjugovanou transpozicí?
• Transponování matice se získá přeskupením sloupců do řádků nebo řádků do sloupců. Komplexní konjugát matice se získá nahrazením každého prvku jeho komplexním konjugátem (tj. x+iy ⇛ x-iy nebo naopak). Konjugovaná transpozice se získá provedením obou operací na matici.
• Konjugovaná transpozice je tedy pouze transpoziční matice se svými komplexními konjugáty jako prvky.
