Transpose vs inverzní matice
Transpozice a inverze jsou dva typy matic se speciálními vlastnostmi, se kterými se setkáváme v maticové algebře. Navzájem se liší a nesdílejí blízký vztah, protože operace prováděné k jejich získání se liší.
Mají široké uplatnění v oblasti lineární algebry a odvozených implementací, jako je počítačová věda.
Více o Transpose Matrix
Transpozici matice A lze identifikovat jako matici získanou přeskupením sloupců na řádky nebo řádků na sloupce. V důsledku toho jsou indexy každého prvku zaměněny. Formálněji je transpozice matice A definována jako
kde
V transponované matici zůstává úhlopříčka nezměněna, ale všechny ostatní prvky jsou otočeny kolem úhlopříčky. Velikost matic se také mění z m×n na n×m.
Transpozice má některé důležité vlastnosti a umožňují snadnější manipulaci s maticemi. Také některé důležité transpoziční matice jsou definovány na základě jejich charakteristik. Pokud je matice rovna své transpozici, pak je matice symetrická. Pokud je matice rovna svému záporu transpozice, je matice šikmo symetrická. Konjugovaná transpozice matice je transpozice matice s prvky nahrazenými její komplexní konjugací.
Více o inverzní matici
Inverzní matice je definována jako matice, která po vynásobení dává matici identity. Z definice tedy vyplývá, že pokud AB=BA=I, pak B je inverzní matice k A a A je inverzní matice k B. Pokud tedy vezmeme v úvahu B=A -1, pak AA -1 =A -1 A=já
Aby byla matice invertibilní, nezbytnou a postačující podmínkou je, že determinant A není nulový; tj. | A |=det(A) ≠ 0. Matici říkáme, že je invertibilní, nesingulární nebo nedegenerativní, pokud splňuje tuto podmínku. Z toho vyplývá, že A je čtvercová matice a jak A -1, tak A mají stejnou velikost.
Inverzní matici A lze vypočítat mnoha metodami v lineární algebře, jako je Gaussova eliminace, Vlastní rozklad, Choleského rozklad a Carmerovo pravidlo. Matici lze také invertovat blokovou inverzní metodou a Neumanovou řadou.
Jaký je rozdíl mezi transponovanou a inverzní maticí?
• Transpose se získá přeskupením sloupců a řádků v matici, zatímco inverzní se získá poměrně obtížným numerickým výpočtem. (Ale ve skutečnosti jsou obě lineární transformace)
• Přímým výsledkem je, že prvky v transpozici pouze změní svou polohu, ale hodnoty jsou stejné. Ale inverzně mohou být čísla zcela odlišná od původní matice.
• Každá matice může mít transpozici, ale inverzní je definována pouze pro čtvercové matice a determinant musí být nenulový.
