Podmnožina vs. Nadmnožina
V matematice je koncept množiny zásadní. Moderní studium teorie množin bylo formalizováno v pozdních 1800s. Teorie množin je základním jazykem matematiky a úložištěm základních principů moderní matematiky. Na druhou stranu je to samo o sobě odvětví matematiky, které je v moderní matematice klasifikováno jako odvětví matematické logiky.
Sada je dobře definovaná kolekce objektů. Dobře definovaný znamená, že existuje mechanismus, pomocí kterého je možné určit, zda daný objekt patří do určité množiny nebo ne. Objekty, které patří do množiny, se nazývají prvky nebo členové množiny. Množiny jsou obvykle označovány velkými písmeny a malými písmeny se používají k reprezentaci prvků.
O množině A se říká, že je podmnožinou množiny B; právě tehdy, když je každý prvek množiny A zároveň prvkem množiny B. Takový vztah mezi množinami označíme A ⊆ B. Lze jej číst také jako ‚A je obsaženo v B‘. O množině A říkáme, že je vlastní podmnožinou, jestliže A ⊆ B a A ≠B, a značíme ji A ⊂ B. Pokud je v A byť jen jeden člen, který není členem B, pak A nemůže být podmnožinou B. Prázdná množina je podmnožinou jakékoli množiny a samotná množina je podmnožinou stejné množiny.
Je-li A podmnožinou B, pak A je obsaženo v B. Znamená to, že B obsahuje A, nebo jinými slovy, B je nadmnožinou A. Píšeme A ⊇ B, abychom označili, že B je nadmnožina A.
Například A={1, 3} je podmnožinou B={1, 2, 3}, protože všechny prvky v A obsažené v B. B je nadmnožinou A, protože B obsahuje A. Nechť A={1, 2, 3} a B={3, 4, 5}. Potom A∩B={3}. Proto A i B jsou nadmnožiny A∩B. Množina A∪B je nadmnožinou A i B, protože A∪B obsahuje všechny prvky v A a B.
Pokud A je nadmnožinou B a B je nadmnožinou C, pak A je nadmnožinou C. Jakákoli množina A je nadmnožinou prázdné množiny a jakákoliv množina sama o sobě je nadmnožinou této množiny.
‚A je podmnožinou B‘se také čte jako ‚A je obsaženo v B‘, značí se A ⊆ B.
‘B je nadmnožina A‘se také čte jako ‚B je obsaženo v A‘, značeno A ⊇ B.
