Asociativní vs komutativní
V našem každodenním životě musíme čísla používat vždy, když potřebujeme něco změřit. V obchodě s potravinami, na čerpací stanici a dokonce i v kuchyni potřebujeme sčítat, odečítat a násobit dvě nebo více veličin. Z naší praxe tyto výpočty provádíme zcela bez námahy. Nikdy si nevšimneme ani nezpochybňujeme, proč tyto operace provádíme tímto konkrétním způsobem. Nebo proč tyto výpočty nelze provést jiným způsobem. Odpověď se skrývá ve způsobu, jakým jsou tyto operace definovány v matematickém oboru algebry.
V algebře je operace zahrnující dvě veličiny (např. sčítání) definována jako binární operace. Přesněji se jedná o operaci mezi dvěma prvky z množiny a tyto prvky se nazývají „operand“. Mnoho operací v matematice včetně aritmetických operací zmíněných dříve a operací, se kterými se setkáváme v teorii množin, lineární algebře a matematické logice, lze definovat jako binární operace.
Existuje soubor řídících pravidel týkajících se konkrétní binární operace. Asociativní a komutativní vlastnosti jsou dvě základní vlastnosti binárních operací.
Více o komutativním majetku
Předpokládejme, že s prvky A a B je provedena nějaká binární operace označená symbolem ⊗. Pokud pořadí operandů neovlivňuje výsledek operace, pak se operace nazývá komutativní. tj. pokud A ⊗ B=B ⊗ A, pak je operace komutativní.
Aritmetické operace sčítání a násobení jsou komutativní. Pořadí sečtených nebo vynásobených čísel nemá vliv na konečnou odpověď:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
V případě dělení však změna v pořadí udává převrácenou hodnotu druhého a při odečítání dává změna zápornou hodnotu druhého. Proto
A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 a 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0,8 a 5 ÷ 4=1,25 [v tomto případě A, B ≠ 1 a 0
Ve skutečnosti se o odčítání říká, že je antikomutativní; kde A – B=– (B – A).
Také logické spojky, konjunkce, disjunkce, implikace a ekvivalence jsou také komutativní. Funkce pravdy jsou také komutativní. Sjednocení a průnik množinových operací jsou komutativní. Sčítání a skalární součin vektorů jsou také komutativní.
Ale vektorové odečítání a vektorový součin nejsou komutativní (vektorový součin dvou vektorů je antikomutativní). Sčítání matice je komutativní, ale násobení a odčítání komutativní nejsou.(Násobení dvou matic může být komutativní ve speciálních případech, jako je násobení matice její inverzní nebo maticí identity; ale rozhodně matice nejsou komutativní, pokud matice nemají stejnou velikost)
Více o asociativní vlastnosti
Binární operace je považována za asociativní, pokud pořadí provádění neovlivňuje výsledek, když jsou přítomny dva nebo více výskytů operátoru. Uvažujme prvky A, B a C a binární operaci ⊗. O operaci ⊗ se říká, že je asociativní, jestliže
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Ze základních aritmetických funkcí je asociativní pouze sčítání a násobení.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
Odčítání a dělení nejsou asociativní;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 a (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 a (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
Logické spojky disjunkce, konjunkce a ekvivalence jsou asociativní, stejně jako sjednocení a průnik množinových operací. Matice a sčítání vektoru jsou asociativní. Skalární součin vektorů je asociativní, ale vektorový součin nikoli. Maticové násobení je asociativní pouze za zvláštních okolností.
Jaký je rozdíl mezi komutativním a asociativním vlastnictvím?
• Asociativní i komutativní vlastnost jsou speciální vlastnosti binárních operací a některé je splňují a některé ne.
• Tyto vlastnosti lze vidět v mnoha formách algebraických operací a dalších binárních operací v matematice, jako je průnik a sjednocení v teorii množin nebo logické spojky.
• Rozdíl mezi komutativní a asociativní vlastností je ten, že komutativní vlastnost říká, že pořadí prvků nemění konečný výsledek, zatímco asociativní vlastnost uvádí, že pořadí, ve kterém se operace provádí, neovlivňuje konečnou odpověď.
