Kardinální vs. Ordinální
V našem každodenním životě může mít používání čísel v různých situacích různé podoby. Když například počítáme, abychom zjistili velikost kolekce objektů, počítáme je jako jeden, dva, tři a tak dále. Když chceme něco spočítat, abychom získali představu o poloze objektů, počítáme je jako první, druhý, třetí a tak dále. V první formě počítání se říká, že čísla jsou kardinální čísla. Ve druhé formě počítání jsou čísla považována za pořadová čísla. V tomto kontextu jsou pojmy kardinál a ordinální zcela záležitostí lingvistiky; kardinální a ordinální jsou přídavná jména.
Rozšíření konceptu na množiny v matematice však odhaluje mnohem hlubší a širší perspektivu a nelze ji pojmout jednoduše. V tomto článku se pokusíme porozumět základním pojmům kardinálních a ordinálních čísel v matematice.
Formální definice kardinálních a ordinálních čísel jsou uvedeny v teorii množin. Definice jsou složité a jejich pochopení v dokonalém smyslu vyžaduje znalost teorie množin. Proto se obrátíme na několik příkladů, abychom pojmům porozuměli heuristicky.
Vezměte si dvě sady {1, 3, 6, 4, 5, 2} a {autobus, auto, trajekt, vlak, letadlo, vrtulník}. Každá množina uvádí množinu prvků, a pokud spočítáme počet prvků, je zřejmé, že každý má stejný počet prvků, což je 6. K tomuto závěru jsme vzali velikost jedné množiny a porovnali ji s jinou pomocí číslo. Takovému číslu se říká kardinální číslo. Můžeme tedy říci, že kardinální číslo je číslo, které můžeme použít k porovnání velikosti konečných množin.
První sadu čísel lze opět uspořádat ve vzestupném pořadí s ohledem na velikost každého prvku a jejich porovnáním. V procesu objednávání jsou čísla považována za kardinály. Podobně lze množinu všech nezáporných celých čísel uspořádat v množině; tj. {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Ale v tomto případě se velikost množiny stává nekonečnou a není možné ji uvádět v pořadových číslech. Bez ohledu na to, jak velké číslo zvolíte jako velikost množiny, stále budou z množiny, kterou vyberete a která jsou nezáporná celá čísla, vynechána čísla.
Proto matematici definují tohoto nekonečného kardinála (který je první) jako Aleph-0, psaný jako א (první písmeno v hebrejské abecedě). Formálně pořadové číslo je typ objednávky dobře uspořádané sady. Pořadové číslo konečných množin tedy může být dáno kardinálními čísly, ale pro nekonečné množiny je pořadové číslo dáno transfinitními čísly, jako je Aleph-0.
Jaký je rozdíl mezi kardinálními a řadovými čísly?
• Kardinální číslo je číslo, které lze použít k počítání nebo k určení velikosti konečné uspořádané množiny. Všechny kardinální čísla jsou řadové.
• Pořadová čísla jsou čísla používaná k určení velikosti konečných i nekonečných uspořádaných množin. Velikost konečných uspořádaných množin je dána obvyklými hinduisticko-arabskými algebraickými číslicemi a velikost nekonečné množiny je dána transfinitními čísly.
