Power Series vs Taylor Series
V matematice je reálná posloupnost uspořádaný seznam reálných čísel. Formálně je to funkce z množiny přirozených čísel do množiny reálných čísel. Pokud an je nth člen posloupnosti, označíme posloupnost pomocí 1, a 2, …, an, …. Uvažujme například sekvenci 1, ½, ⅓, …, 1 / n, …. Může být označen jako {1/n}.
Je možné definovat řadu pomocí sekvencí. Řada je součtem členů posloupnosti. Proto pro každou sekvenci existuje přidružená sekvence a naopak. Pokud je uvažovaná sekvence {an, pak řadu tvořenou touto sekvencí lze reprezentovat jako:
Ve výše uvedeném příkladu je tedy přidružená řada 1+1/2+1 /3+ … + 1/ n + ….
Jak název napovídá, mocninná řada je speciálním typem řady a je široce používána v numerické analýze a souvisejícím matematickém modelování. Taylorova řada je speciální mocninná řada, která poskytuje alternativní a snadno ovladatelný způsob reprezentace dobře známých funkcí.
Co je mocninná řada?
Mocninná řada je řada tvaru
který je konvergentní (možná) pro nějaký interval se středem v c. Koeficienty anmohou být reálná nebo komplexní čísla a jsou nezávislé na x; tj. fiktivní proměnná.
Například nastavením an=1 pro každé n a c=0, mocninnou řadu 1+x+x2 Získá se +…..+ x+…. Je snadné pozorovat, že když x ε (-1, 1), tato mocninná řada konverguje k 1/(1-x).
Mocninná řada konverguje, když x=c. Ostatní hodnoty x, pro které mocninná řada konverguje, budou mít vždy podobu otevřeného intervalu se středem v c. To znamená, že bude existovat hodnota 0≤ R ≤ ∞ taková, že pro každé x splňující |x-c|≤ R je mocninná řada konvergentní a pro každé x splňující |x-c|> R je mocninná řada divergentní. Tato hodnota R se nazývá poloměr konvergence mocninné řady (R může nabývat libovolné reálné hodnoty nebo kladného nekonečna).
Monovinové řady lze sčítat, odečítat, násobit a dělit pomocí následujících pravidel. Zvažte dvě mocninné řady:
Potom
tj. podobné výrazy se sčítají nebo odečítají dohromady. Také je možné násobit a dělit dvě mocninné řady pomocí identity,
Co je Taylorova řada?
Taylorova řada je definována pro funkci f (x), která je nekonečně diferencovatelná na intervalu. Předpokládejme, že f (x) je diferencovatelné na intervalu se středem v c. Pak mocninná řada, která je dána
se nazývá rozvoj Taylorovy řady funkce f (x) o c. (Zde f(n) (c) označte nth derivát v x=c). V numerické analýze se konečný počet členů v tomto nekonečném rozšíření používá při výpočtu hodnot v bodech, kde je řada konvergentní k původní funkci.
O funkci f (x) se říká, že je analytická v intervalu (a, b), pokud pro každé x ε (a, b) Taylorova řada f (x) konverguje k funkci f (X). Například 1/(1-x) je analytické na (-1, 1), protože jeho Taylorova expanze 1+x+x2+….+ x +… konverguje k funkci na tomto intervalu a ex je všude analytické, protože Taylorova řada ex konverguje k e x pro každé reálné číslo x.
Jaký je rozdíl mezi Power řadou a Taylorovou řadou?
1. Taylorova řada je speciální třída mocninných řad definovaná pouze pro funkce, které jsou nekonečně diferencovatelné na nějakém otevřeném intervalu.
2. Taylorova série má zvláštní podobu
přičemž mocninnou řadou může být jakákoli řada ve tvaru
