Laplaceova vs Fourierova transformace
Laplaceova i Fourierova transformace jsou integrální transformace, které se nejčastěji používají jako matematické metody k řešení matematicky modelovaných fyzikálních systémů. Postup je jednoduchý. Komplexní matematický model je převeden na jednodušší, řešitelný model pomocí integrální transformace. Jakmile je jednodušší model vyřešen, použije se inverzní integrální transformace, která poskytne řešení původnímu modelu.
Například protože většina fyzikálních systémů vede k diferenciálním rovnicím, lze je převést na algebraické rovnice nebo v menší míře na snadno řešitelné diferenciální rovnice pomocí integrální transformace. Pak bude řešení problému snazší.
Co je Laplaceova transformace?
U dané funkce f (t) reálné proměnné t je její Laplaceova transformace definována integrálem [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (kdykoli existuje), což je funkce komplexní proměnné s. Obvykle se značí L { f (t)}. Inverzní Laplaceova transformace funkce F (s) je považována za funkci f (t) takovým způsobem, že L { f (t)}=F (s) a v obvyklém matematickém zápisu píšeme L-1{ F (s)}=f (t). Inverzní transformace může být jedinečná, pokud nejsou povoleny funkce null. Tyto dva lze identifikovat jako lineární operátory definované ve funkčním prostoru a je také snadné vidět, že L -1{ L { f (t)}}=f (t), pokud nejsou povoleny funkce null.
V následující tabulce jsou uvedeny Laplaceovy transformace některých nejběžnějších funkcí.
Co je Fourierova transformace?
U dané funkce f (t) reálné proměnné t je její Laplaceova transformace definována integrálem [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (kdykoli existuje) a obvykle se označuje F { f (t)}. Inverzní transformace F -1{ F (α)} je dána integrálem [latex] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. Fourierova transformace je také lineární a lze si ji představit jako operátor definovaný ve funkčním prostoru.
Pomocí Fourierovy transformace lze původní funkci zapsat následovně za předpokladu, že funkce má pouze konečný počet nespojitostí a je absolutně integrovatelná.
Jaký je rozdíl mezi Laplaceovou a Fourierovou transformací?
- Fourierova transformace funkce f (t) je definována jako [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], přičemž jeho laplaceova transformace je definována jako [latex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- Fourierova transformace je definována pouze pro funkce definované pro všechna reálná čísla, zatímco Laplaceova transformace nevyžaduje, aby byla funkce definována na množině záporných reálných čísel.
- Fourierova transformace je speciální případ Laplaceovy transformace. Je vidět, že obě se shodují pro nezáporná reálná čísla. (tj. vezměte s v Laplaceově jazyce jako iα + β, kde α a β jsou reálné, takže e β=1/ √(2ᴫ))
- Každá funkce, která má Fourierovu transformaci, bude mít Laplaceovu transformaci, ale ne naopak.
