Fourierova řada vs Fourierova transformace
Fourierova řada rozkládá periodickou funkci na součet sinů a kosinus s různými frekvencemi a amplitudami. Fourierova řada je odvětvím Fourierovy analýzy a byla představena Josephem Fourierem. Fourierova transformace je matematická operace, která rozbije signál na jeho základní frekvence. Původní signál, který se v průběhu času měnil, se nazývá reprezentace signálu v časové oblasti. Fourierova transformace se nazývá reprezentace signálu ve frekvenční oblasti, protože závisí na frekvenci. Jak reprezentace signálu ve frekvenční doméně, tak proces použitý k transformaci tohoto signálu do frekvenční domény se označují jako Fourierova transformace.
Co je Fourierova řada?
Jak již bylo zmíněno, Fourierova řada je rozšířením periodické funkce pomocí nekonečného součtu sinů a kosinů. Fourierovy řady byly původně vyvinuty při řešení tepelných rovnic, ale později bylo zjištěno, že stejnou techniku lze použít k řešení velkého souboru matematických problémů, zejména problémů, které zahrnují lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty. Nyní má řada Fourier uplatnění ve velkém množství oblastí včetně elektrotechniky, analýzy vibrací, akustiky, optiky, zpracování signálu, zpracování obrazu, kvantové mechaniky a ekonometrie. Fourierovy řady používají vztahy ortogonality funkcí sinus a kosinus. Výpočet a studium Fourierových řad je známé jako harmonická analýza a je velmi užitečné při práci s libovolnými periodickými funkcemi, protože umožňuje rozdělit funkci na jednoduché pojmy, které lze použít k získání řešení původního problému.
Co je Fourierova transformace?
Fourierova transformace definuje vztah mezi signálem v časové oblasti a jeho reprezentací ve frekvenční oblasti. Fourierova transformace rozkládá funkci na oscilační funkce. Protože se jedná o transformaci, původní signál lze získat ze znalosti transformace, takže v procesu nevznikají ani neztrácejí žádné informace. Studium Fourierových řad ve skutečnosti poskytuje motivaci pro Fourierovu transformaci. Vzhledem k vlastnostem sinusů a kosinus je možné získat zpět množství každé vlny, které přispívá k součtu pomocí integrálu. Fourierova transformace má některé základní vlastnosti, jako je linearita, translace, modulace, škálování, konjugace, dualita a konvoluce. Fourierova transformace se používá při řešení diferenciálních rovnic, protože Fourierova transformace úzce souvisí s Laplaceovou transformací. Fourierova transformace se také používá v nukleární magnetické rezonanci (NMR) a v jiných druzích spektroskopie.
Rozdíl mezi Fourierovou řadou a Fourierovou transformací
Fourierova řada je rozšířením periodického signálu jako lineární kombinace sinů a kosinus, zatímco Fourierova transformace je proces nebo funkce používaná k převodu signálů z časové oblasti do frekvenční oblasti. Fourierova řada je definována pro periodické signály a Fourierova transformace může být aplikována na aperiodické (bez periodicity) signály. Jak bylo uvedeno výše, studium Fourierových řad ve skutečnosti poskytuje motivaci pro Fourierovu transformaci.
