Rozdíl mezi rovnoběžníkem a obdélníkem

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-12-17 13:34

Paralelogram vs obdélník

Rovnoběžník a obdélník jsou čtyřúhelníky. Geometrie těchto obrazců byla lidem známa po tisíce let. Toto téma je výslovně zpracováno v knize „Elements“, kterou napsal řecký matematik Euclid.

Paralelogram

Paralelogram lze definovat jako geometrický útvar se čtyřmi stranami, přičemž protilehlé strany jsou vzájemně rovnoběžné. Přesněji se jedná o čtyřúhelník se dvěma páry rovnoběžných stran. Tato paralelní povaha dává mnoho geometrických charakteristik rovnoběžníkům.

Čtyřúhelník je rovnoběžník, pokud jsou nalezeny následující geometrické charakteristiky.

• Dva páry protilehlých stran mají stejnou délku. (AB=DC, AD=BC)

• Dva páry protilehlých úhlů mají stejnou velikost. ([latex]D\klobouk{A}B=B\klobouk{C}D, A\klobouk{D}C=A\klobouk{B}C[/latex])

• Pokud jsou sousední úhly doplňkové [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]

• Dvojice stran, které jsou proti sobě, je rovnoběžná a stejně dlouhá. (AB=DC & AB∥DC)

• Úhlopříčky se vzájemně půlí (AO=OC, BO=OD)

• Každá úhlopříčka rozděluje čtyřúhelník na dva shodné trojúhelníky. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)

Součet čtverců stran se dále rovná součtu čtverců úhlopříček. To je někdy označováno jako zákon rovnoběžníku a má široké použití ve fyzice a inženýrství. (AB² + BC² + CD² + DA^2=AC2 ^{+ BD}2⁾

Každou z výše uvedených charakteristik lze použít jako vlastnosti, jakmile se zjistí, že čtyřúhelník je rovnoběžník.

Plochu rovnoběžníku lze vypočítat jako součin délky jedné strany a výšky na opačné straně. Plochu rovnoběžníku lze tedy uvést jako

Plocha rovnoběžníku=základna × výška=AB×h

Plocha rovnoběžníku je nezávislá na tvaru jednotlivého rovnoběžníku. Závisí pouze na délce základny a kolmé výšce.

Pokud lze strany rovnoběžníku znázornit dvěma vektory, lze plochu získat velikostí vektorového součinu (křížového součinu) dvou sousedních vektorů.

Pokud jsou strany AB a AD reprezentovány vektory ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) a ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]), plocha rovnoběžník je dán vztahem [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], kde α je úhel mezi [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] a [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].

Následují některé pokročilé vlastnosti rovnoběžníku;

• Plocha rovnoběžníku je dvojnásobkem plochy trojúhelníku vytvořeného některou z jeho úhlopříček.

• Plocha rovnoběžníku je rozdělena na polovinu libovolnou přímkou procházející středem.

• Jakákoli nedegenerovaná afinní transformace přenese rovnoběžník na jiný rovnoběžník

• Rovnoběžník má rotační symetrii řádu 2

• Součet vzdáleností od jakéhokoli vnitřního bodu rovnoběžníku ke stranám je nezávislý na umístění bodu

Rectangle

Čtyřúhelník se čtyřmi pravými úhly se nazývá obdélník. Je to speciální případ rovnoběžníku, kde úhly mezi jakýmikoli dvěma sousedními stranami jsou pravé.

Kromě všech vlastností rovnoběžníku lze při zvažování geometrie obdélníku rozpoznat další charakteristiky.

• Každý úhel ve vrcholech je pravý úhel.

• Úhlopříčky jsou stejně dlouhé a navzájem se půlí. Proto jsou půlené úseky také stejně dlouhé.

• Délku úhlopříček lze vypočítat pomocí Pythagorovy věty:

PQ² + PS² =SQ²

• Vzorec plochy se redukuje na součin délky a šířky.

Plocha obdélníku=délka × šířka

• Mnoho symetrických vlastností se nachází na obdélníku, například;

– Obdélník je cyklický, kde všechny vrcholy mohou být umístěny na obvodu kruhu.

– Je rovnoúhlý, kde jsou všechny úhly stejné.

– Je izogonální, kde všechny rohy leží na stejné symetrické dráze.

– Má reflexní symetrii i rotační symetrii.

Jaký je rozdíl mezi rovnoběžníkem a obdélníkem?

• Rovnoběžník a obdélník jsou čtyřúhelníky. Obdélník je speciální případ rovnoběžníků.

• Plochu libovolného lze vypočítat pomocí vzorce základ × výška.

• S ohledem na úhlopříčky;

– Úhlopříčky rovnoběžníku se navzájem půlí a protínají rovnoběžník tak, aby vytvořily dva shodné trojúhelníky.

– Úhlopříčky obdélníku jsou stejně dlouhé a navzájem se půlí; půlené úseky jsou stejně dlouhé. Úhlopříčky půlí obdélník na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky.

• S ohledem na vnitřní úhly;

– Protilehlé vnitřní úhly rovnoběžníku mají stejnou velikost. Dva sousední vnitřní úhly jsou doplňkové

– Všechny čtyři vnitřní úhly obdélníku jsou pravé.

• S ohledem na strany;

– V rovnoběžníku se součet čtverců stran rovná součtu čtverců úhlopříčky (zákon rovnoběžníku)

– V obdélnících se součet čtverců dvou sousedních stran rovná čtverci úhlopříčky na koncích. (Pythagorovo pravidlo)