Paralelogram vs čtyřúhelník
Čtyřúhelníky a rovnoběžníky jsou mnohoúhelníky nalezené v euklidovské geometrii. Rovnoběžník je speciální případ čtyřúhelníku. Čtyřúhelníky mohou být buď rovinné (2D) nebo 3rozměrné, zatímco rovnoběžníky jsou vždy rovinné.
Čtyřúhelník
Čtyřúhelník je mnohoúhelník se čtyřmi stranami. Má čtyři vrcholy a součet vnitřních úhlů je 3600 (2π rad). Čtyřúhelníky jsou klasifikovány do kategorií samoprotínajících se a jednoduchých čtyřúhelníků. Samoprotínající se čtyřúhelníky mají dvě nebo více stran, které se navzájem kříží, a uvnitř čtyřúhelníku se tvoří menší geometrické útvary (jako jsou trojúhelníky).
Jednoduché čtyřúhelníky se také dělí na konvexní a konkávní čtyřúhelníky. Konkávní čtyřúhelníky mají přilehlé strany tvořící reflexní úhly uvnitř postavy. Jednoduché čtyřúhelníky, které nemají uvnitř reflexní úhly, jsou konvexní čtyřúhelníky. Konvexní čtyřúhelníky mohou mít vždy mozaiky.
Hlavní část geometrie čtyřúhelníků na počátečních úrovních se týká konvexních čtyřúhelníků. Některé čtyřúhelníky jsou nám velmi známé z dob základních škol. Následuje diagram znázorňující různé konvexní čtyřúhelníky.
Paralelogram
Paralelogram lze definovat jako geometrický útvar se čtyřmi stranami, přičemž protilehlé strany jsou vzájemně rovnoběžné. Přesněji se jedná o čtyřúhelník se dvěma páry rovnoběžných stran. Tato paralelní povaha dává mnoho geometrických charakteristik rovnoběžníkům.
Čtyřúhelník je rovnoběžník, pokud jsou nalezeny následující geometrické charakteristiky.
• Dva páry protilehlých stran mají stejnou délku. (AB=DC, AD=BC)
• Dva páry protilehlých úhlů mají stejnou velikost. ([latex]D\klobouk{A}B=B\klobouk{C}D, A\klobouk{D}C=A\klobouk{B}C[/latex])
• Pokud jsou sousední úhly doplňkové [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Dvojice stran, které jsou proti sobě, je rovnoběžná a stejně dlouhá. (AB=DC & AB∥DC)
• Úhlopříčky se vzájemně půlí (AO=OC, BO=OD)
• Každá úhlopříčka rozděluje čtyřúhelník na dva shodné trojúhelníky. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Součet čtverců stran se dále rovná součtu čtverců úhlopříček. To je někdy označováno jako zákon rovnoběžníku a má široké použití ve fyzice a inženýrství. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Každou z výše uvedených charakteristik lze použít jako vlastnosti, jakmile se zjistí, že čtyřúhelník je rovnoběžník.
Plochu rovnoběžníku lze vypočítat jako součin délky jedné strany a výšky na opačné straně. Plochu rovnoběžníku lze tedy uvést jako
Plocha rovnoběžníku=základna × výška=AB×h
Plocha rovnoběžníku je nezávislá na tvaru jednotlivého rovnoběžníku. Závisí pouze na délce základny a kolmé výšce.
Pokud lze strany rovnoběžníku znázornit dvěma vektory, lze plochu získat velikostí vektorového součinu (křížového součinu) dvou sousedních vektorů.
Pokud jsou strany AB a AD reprezentovány vektory ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) a ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]), plocha rovnoběžník je dán vztahem [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], kde α je úhel mezi [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] a [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
Následují některé pokročilé vlastnosti rovnoběžníku;
• Plocha rovnoběžníku je dvojnásobkem plochy trojúhelníku vytvořeného některou z jeho úhlopříček.
• Plocha rovnoběžníku je rozdělena na polovinu libovolnou přímkou procházející středem.
• Jakákoli nedegenerovaná afinní transformace přenese rovnoběžník na jiný rovnoběžník
• Rovnoběžník má rotační symetrii řádu 2
• Součet vzdáleností od jakéhokoli vnitřního bodu rovnoběžníku ke stranám je nezávislý na umístění bodu
Jaký je rozdíl mezi rovnoběžníkem a čtyřúhelníkem?
• Čtyřúhelníky jsou mnohoúhelníky se čtyřmi stranami (někdy nazývané čtyřúhelníky), zatímco rovnoběžník je speciálním typem čtyřúhelníku.
• Čtyřúhelníky mohou mít své strany v různých rovinách (ve 3D prostoru), zatímco všechny strany rovnoběžníku leží ve stejné rovině (rovinné/2rozměrné).
• Vnitřní úhly čtyřúhelníku mohou mít libovolnou hodnotu (včetně reflexních úhlů), takže jejich součet může být 3600. Paralelogramy mohou mít pouze tupé úhly jako maximální typ úhlu.
• Čtyři strany čtyřúhelníku mohou mít různé délky, zatímco protilehlé strany rovnoběžníku jsou vždy vzájemně rovnoběžné a stejně dlouhé.
• Jakákoli úhlopříčka rozděluje rovnoběžník na dva shodné trojúhelníky, zatímco trojúhelníky tvořené úhlopříčkou obecného čtyřúhelníku nemusí být nutně shodné.
