Paralelogram vs lichoběžník
Paralelogram a lichoběžník (neboli lichoběžník) jsou dva konvexní čtyřúhelníky. I když se jedná o čtyřúhelníky, geometrie lichoběžníku se výrazně liší od rovnoběžníků.
Paralelogram
Paralelogram lze definovat jako geometrický útvar se čtyřmi stranami, přičemž protilehlé strany jsou vzájemně rovnoběžné. Přesněji se jedná o čtyřúhelník se dvěma páry rovnoběžných stran. Tato paralelní povaha dává mnoho geometrických charakteristik rovnoběžníkům.
Čtyřúhelník je rovnoběžník, pokud jsou nalezeny následující geometrické charakteristiky.
• Dva páry protilehlých stran mají stejnou délku. (AB=DC, AD=BC)
• Dva páry protilehlých úhlů mají stejnou velikost. ([latex]D\klobouk{A}B=B\klobouk{C}D, A\klobouk{D}C=A\klobouk{B}C[/latex])
• Pokud jsou sousední úhly doplňkové [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Dvojice stran, které jsou proti sobě, je rovnoběžná a stejně dlouhá. (AB=DC & AB∥DC)
• Úhlopříčky se vzájemně půlí (AO=OC, BO=OD)
• Každá úhlopříčka rozděluje čtyřúhelník na dva shodné trojúhelníky. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Součet čtverců stran se dále rovná součtu čtverců úhlopříček. To je někdy označováno jako zákon rovnoběžníku a má široké použití ve fyzice a inženýrství. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Každou z výše uvedených charakteristik lze použít jako vlastnosti, jakmile se zjistí, že čtyřúhelník je rovnoběžník.
Plochu rovnoběžníku lze vypočítat jako součin délky jedné strany a výšky na opačné straně. Plochu rovnoběžníku lze tedy uvést jako
Plocha rovnoběžníku=základna × výška=AB×h
Plocha rovnoběžníku je nezávislá na tvaru jednotlivého rovnoběžníku. Závisí pouze na délce základny a kolmé výšce.
Pokud lze strany rovnoběžníku znázornit dvěma vektory, lze plochu získat velikostí vektorového součinu (křížového součinu) dvou sousedních vektorů.
Pokud jsou strany AB a AD reprezentovány vektory ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) a ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]), plocha rovnoběžník je dán vztahem [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], kde α je úhel mezi [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] a [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
Následují některé pokročilé vlastnosti rovnoběžníku;
• Plocha rovnoběžníku je dvojnásobkem plochy trojúhelníku vytvořeného některou z jeho úhlopříček.
• Plocha rovnoběžníku je rozdělena na polovinu libovolnou přímkou procházející středem.
• Jakákoli nedegenerovaná afinní transformace přenese rovnoběžník na jiný rovnoběžník
• Rovnoběžník má rotační symetrii řádu 2
• Součet vzdáleností od jakéhokoli vnitřního bodu rovnoběžníku ke stranám je nezávislý na umístění bodu
Lichoběžník
Lichoběžník (neboli lichoběžník v britské angličtině) je konvexní čtyřúhelník, kde jsou alespoň dvě strany rovnoběžné a nestejné délky. Paralelní strany lichoběžníku jsou známé jako základny a další dvě strany se nazývají nohy.
Následují hlavní charakteristiky lichoběžníků;
• Pokud sousední úhly nejsou na stejné základně lichoběžníku, jedná se o doplňkové úhly. tj. jejich součet je 180° ([latex]B\hat{A}D+A\hat{D}C=A\hat{B}C+B\hat{C}D=180^{circ}[/latex])
• Obě úhlopříčky lichoběžníku se protínají ve stejném poměru (poměr mezi částmi úhlopříček je stejný).
• Jestliže aab jsou základny a c, d jsou nohy, délky úhlopříček jsou dány vztahem
[latex]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}[/latex]
a
[latex]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bc^{2}}{b-a}}[/latex]
Plochu lichoběžníku lze vypočítat pomocí následujícího vzorce
Plocha lichoběžníku=[latex]\frac{a+b}{2}\krát h[/latex]
Jaký je rozdíl mezi paralelogramem a lichoběžníkem (lichoběžníkem)?
• Rovnoběžník i lichoběžník jsou konvexní čtyřúhelníky.
• V rovnoběžníku jsou oba páry protilehlých stran rovnoběžné, zatímco v lichoběžníku je rovnoběžný pouze pár.
• Úhlopříčky rovnoběžníku se vzájemně půlí (poměr 1:1), zatímco úhlopříčky lichoběžníku se protínají s konstantním poměrem mezi sekcemi.
• Plocha rovnoběžníku závisí na výšce a základně, zatímco plocha lichoběžníku závisí na výšce a středním segmentu.
• Dva trojúhelníky tvořené úhlopříčkou v rovnoběžníku jsou vždy shodné, zatímco trojúhelníky lichoběžníku mohou být shodné nebo ne.
