Vztah vs funkce
Od středoškolské matematiky se funkce stává běžným pojmem. I když je používán poměrně často, je používán bez řádného pochopení jeho definice a interpretací. Tento článek se zaměřuje na popis těchto aspektů funkce.
Vztah
Relace je spojnicí mezi prvky dvou množin. Ve formálnějším prostředí jej lze popsat jako podmnožinu kartézského součinu dvou množin X a Y. Kartézský součin X a Y, označovaný jako X×Y, je množina uspořádaných dvojic sestávajících z prvků ze dvou množin, často označované jako (x, y). Sestavy se nemusí lišit. Například podmnožina prvků z A×A se nazývá relace na A.
Funkce
Funkce jsou zvláštním typem vztahů. Tento speciální typ vztahu popisuje, jak je jeden prvek mapován na jiný prvek v jiné sadě nebo stejné sadě. Aby byl vztah funkcí, musí být splněny dva specifické požadavky.
Každý prvek sady, kde každé mapování začíná, musí mít přidružený/propojený prvek v druhé sadě.
Prvky v sadě, kde mapování začíná, lze přidružit/propojit pouze s jedním a pouze jedním prvkem ve druhé sadě
Množina, ze které je vztah mapován, se nazývá doména. Množina, do které je vztah mapován, se nazývá Codomain. Podmnožina prvků v kodoméně obsahující pouze prvky spojené se vztahem se nazývá rozsah.
Technicky je funkce relace mezi dvěma množinami, kde každý prvek v jedné množině je jedinečně mapován na prvek ve druhé.
Všimněte si následujícího
- Každý prvek v doméně je mapován do kodomény.
- Několik prvků domény je spojeno se stejnou hodnotou v kodoméně, ale jeden prvek z domény nemůže být připojen k více než jednomu prvku kodomény. (Mapování musí být jedinečné)
- Pokud je každý jednotlivý prvek domény mapován do odlišných a jedinečných prvků v kodoméně, říká se, že funkce je funkce „jedna ku jedné“.
Kodoména obsahuje jiný prvek než ty, které jsou připojeny k prvkům domény. Rozsahem nemusí být kodoména. Pokud se kodoména rovná rozsahu, funkce je známá jako funkce „onto“
Když jsou hodnoty, které může funkce nabývat, reálné, nazývá se skutečná funkce. Prvky kodomény a domény jsou reálná čísla.
Funkce jsou vždy označeny pomocí proměnných. Prvky kodomény jsou symbolicky reprezentovány proměnnou. Zápis f(x) představuje prvky rozsahu. Vztah lze znázornit pomocí výrazu ve tvaru f(x)=x^2. Říká, že prvek domény je mapován do čtverce prvku v rámci kodomény.
Jaký je rozdíl mezi funkcí a vztahem?
• Funkce jsou zvláštním typem vztahů.
• Vztah je založen na kartézském součinu dvou množin.
• Funkce je založena na vztazích se specifickými vlastnostmi.
• Doména funkce musí být namapována do kodomény tak, aby každý prvek měl v kodoméně jednoznačně určenou odpovídající hodnotu. Vztah může propojit jeden prvek s více hodnotami.
