Funkce rozdělení pravděpodobností vs Funkce hustoty pravděpodobnosti
Pravděpodobnost je pravděpodobnost, že k události dojde. Tato myšlenka je velmi běžná a často se používá v každodenním životě, když hodnotíme naše příležitosti, transakce a mnoho dalších věcí. Rozšířit tento jednoduchý koncept na větší soubor událostí je o něco náročnější. Nemůžeme například snadno zjistit šance na výhru v loterii, ale je pohodlné, spíše intuitivní, říci, že existuje pravděpodobnost, že jedna ze šesti dostaneme číslo šest v hozené kostce.
Když se počet událostí, které se mohou odehrát, zvětšuje nebo je počet jednotlivých možností velký, tato poměrně jednoduchá myšlenka pravděpodobnosti selhává. Proto je třeba dát mu solidní matematickou definici, než přistoupíme k problémům s vyšší složitostí.
Když je počet událostí, které se mohou odehrát v jedné situaci, velký, není možné posuzovat každou událost jednotlivě jako v příkladu vržených kostek. Celý soubor událostí je tedy shrnut zavedením konceptu náhodné veličiny. Je to proměnná, která může nabývat hodnot různých událostí v dané situaci (nebo vzorovém prostoru). Dává matematický smysl jednoduchým událostem v situaci a matematický způsob řešení události. Přesněji, náhodná proměnná je funkce reálné hodnoty nad prvky vzorového prostoru. Náhodné proměnné mohou být buď diskrétní nebo spojité. Obvykle se označují velkými písmeny anglické abecedy.
Funkce rozdělení pravděpodobnosti (nebo jednoduše rozdělení pravděpodobnosti) je funkce, která přiřazuje hodnoty pravděpodobnosti pro každou událost; tj. poskytuje vztah k pravděpodobnostem hodnot, kterých může náhodná veličina nabývat. Funkce rozdělení pravděpodobnosti je definována pro diskrétní náhodné proměnné.
Funkce hustoty pravděpodobnosti je ekvivalentem funkce rozdělení pravděpodobnosti pro spojité náhodné veličiny, udává pravděpodobnost, že určitá náhodná veličina nabude určité hodnoty.
Je-li X diskrétní náhodná proměnná, funkce daná jako f (x)=P (X=x) pro každé x v rozsahu X se nazývá funkce rozdělení pravděpodobnosti. Funkce může sloužit jako funkce rozdělení pravděpodobnosti tehdy a pouze tehdy, pokud funkce splňuje následující podmínky.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
Funkce f (x), která je definována nad množinou reálných čísel, se nazývá funkce hustoty pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X, právě když
P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx pro libovolné reálné konstanty a a b.
Funkce hustoty pravděpodobnosti by také měla splňovat následující podmínky.
1. f (x) ≥ 0 pro všechna x: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
Funkce rozdělení pravděpodobnosti i funkce hustoty pravděpodobnosti se používají k reprezentaci rozdělení pravděpodobností v prostoru vzorku. Běžně se jim říká rozdělení pravděpodobnosti.
Pro statistické modelování jsou odvozeny standardní funkce hustoty pravděpodobnosti a funkce rozdělení pravděpodobnosti. Normální rozdělení a standardní normální rozdělení jsou příklady spojitých rozdělení pravděpodobnosti. Binomické rozdělení a Poissonovo rozdělení jsou příklady diskrétních rozdělení pravděpodobnosti.
Jaký je rozdíl mezi rozdělením pravděpodobnosti a funkcí hustoty pravděpodobnosti?
• Funkce rozdělení pravděpodobnosti a funkce hustoty pravděpodobnosti jsou funkce definované ve vzorovém prostoru, aby se každému prvku přiřadila relevantní hodnota pravděpodobnosti.
• Funkce rozdělení pravděpodobnosti jsou definovány pro diskrétní náhodné proměnné, zatímco funkce hustoty pravděpodobnosti jsou definovány pro spojité náhodné proměnné.
• Rozdělení hodnot pravděpodobnosti (tj. rozdělení pravděpodobnosti) nejlépe vystihuje funkce hustoty pravděpodobnosti a funkce rozdělení pravděpodobnosti.
• Funkce rozdělení pravděpodobnosti může být reprezentována jako hodnoty v tabulce, ale to není možné pro funkci hustoty pravděpodobnosti, protože proměnná je spojitá.
• Při vykreslení funkce rozdělení pravděpodobnosti poskytuje sloupcový graf, zatímco funkce hustoty pravděpodobnosti poskytuje křivku.
• Výška/délka pruhů funkce rozdělení pravděpodobnosti musí být přidána k 1, zatímco plocha pod křivkou funkce hustoty pravděpodobnosti musí být přidána k 1.
• V obou případech musí být všechny hodnoty funkce nezáporné.
