Diskrétní funkce versus spojitá funkce
Funkce jsou jednou z nejdůležitějších tříd matematických objektů, které se široce používají téměř ve všech dílčích oblastech matematiky. Jak jejich názvy napovídají, jak diskrétní funkce, tak spojité funkce jsou dva speciální typy funkcí.
Funkce je vztah mezi dvěma množinami definovaným tak, že pro každý prvek v první množině je hodnota, která mu odpovídá ve druhé množině, jedinečná. Nechť f je funkce definovaná z množiny A do množiny B. Potom pro každé x ϵ A symbol f (x) označuje jedinečnou hodnotu v množině B, která odpovídá x. Říká se tomu obraz x pod f. Proto je relace f z A do B funkcí, právě když pro, každé xϵ A a y ϵ A; jestliže x=y, pak f (x)=f (y). Množina A se nazývá definiční obor funkce f a je to množina, ve které je funkce definována.
Uvažujme například vztah f z R do R definovaný vztahem f (x)=x + 2 pro každé xϵ A. Toto je funkce, jejíž definiční obor je R, protože pro každé reálné číslo x a y platí x=y f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Ale vztah g z N do N definovaný jako g (x)=a, kde 'a' je prvočíslo x není funkcí jako g (6)=3, stejně jako g (6)=2.
Co je to diskrétní funkce?
Diskrétní funkce je funkce, jejíž definiční obor je nanejvýš spočetný. Jednoduše to znamená, že je možné vytvořit seznam, který obsahuje všechny prvky domény.
Jakákoli konečná množina je nanejvýš spočetná. Množina přirozených čísel a množina racionálních čísel jsou příklady nanejvýš spočetných nekonečných množin. Množina reálných čísel a množina iracionálních čísel nejsou nanejvýš spočetné. Obě sady jsou nespočetné. Znamená to, že není možné vytvořit seznam, který by zahrnoval všechny prvky těchto sad.
Jednou z nejběžnějších diskrétních funkcí je faktoriál. f:N U{0}→N rekurzivně definovaná pomocí f (n)=n f (n-1) pro každé n ≥ 1 af (0)=1 se nazývá faktoriální funkce. Všimněte si, že jeho doména N U{0} je nanejvýš spočetná.
Co je spojitá funkce?
Nechť f je funkce taková, že pro každé k v oboru f platí f (x)→ f (k) jako x → k. Potom f je spojitá funkce. To znamená, že je možné učinit f (x) libovolně blízko k f (k) tím, že x učiníme dostatečně blízko ke k pro každé k v definičním oboru f.
Uvažujme funkci f (x)=x + 2 na R. Je vidět, že jako x → k, x + 2 → k + 2 je f (x) → f (k). Proto je f spojitá funkce. Nyní uvažujme g na kladných reálných číslech g (x)=1, pokud x > 0 a g (x)=0, pokud x=0. Pak tato funkce není spojitá, protože limita g (x) neexistuje (a tedy není rovna g (0)) jako x → 0.
Jaký je rozdíl mezi diskrétní a spojitou funkcí?
• Diskrétní funkce je funkce, jejíž definiční obor je nanejvýš spočetný, ale nemusí tomu tak být u spojitých funkcí.
• Všechny spojité funkce ƒ mají vlastnost, že ƒ(x)→ƒ(k) jako x → k pro každé x a pro každé k v oboru ƒ, ale u některých diskrétních funkcí tomu tak není.
