Rozdíl mezi binomickým a normálním rozdělením

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-12-17 13:34

Binomiální vs. normální distribuce

V oblasti statistiky hrají důležitou roli rozdělení pravděpodobnosti náhodných veličin. Z těchto rozdělení pravděpodobnosti jsou binomické rozdělení a normální rozdělení dvě z nejběžněji se vyskytujících distribucí v reálném životě.

Co je binomické rozdělení?

Binomické rozdělení je rozdělení pravděpodobnosti odpovídající náhodné veličině X, což je počet úspěchů konečné sekvence nezávislých experimentů ano/ne, z nichž každý má pravděpodobnost úspěchu p. Z definice X je zřejmé, že jde o diskrétní náhodnou veličinu; proto je také binomické rozdělení diskrétní.

Rozdělení je označeno jako X ~ B (n, p), kde n je počet experimentů a p je pravděpodobnost úspěchu. Podle teorie pravděpodobnosti můžeme odvodit, že B (n, p) následuje pravděpodobnostní hmotnostní funkci [latex] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/latex]. Z této rovnice lze dále odvodit, že očekávaná hodnota X, E(X)=np a rozptyl X, V(X)=np (1- p).

Zvažte například náhodný experiment házení mincí třikrát. Definujte úspěch jako získání H, neúspěch jako získání T a náhodnou veličinu X jako počet úspěchů v experimentu. Potom X ~ B (3, 0,5) a pravděpodobnostní hmotnostní funkce X daná vztahem [latex] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0,5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/latex]. Proto pravděpodobnost získání alespoň 2 H je P(X ≥ 2)=P (X=2 nebo X=3)=P (X=2) + P (X=3)=³ C₂(0,5²)(0,5¹) + ³ C₃(0,5³)(0,5^{0)=0,375 + 0,125=0,5.}

Co je normální rozdělení?

Normální rozdělení je spojité rozdělení pravděpodobnosti definované funkcí hustoty pravděpodobnosti, [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]. Parametry [latex] \mu a \\sigma [/latex] označují průměr a směrodatnou odchylku sledované populace. Když [latex] \mu=0 a \\sigma=1 [/latex], rozdělení se nazývá standardní normální rozdělení.

Toto rozdělení se nazývá normální, protože většina přírodních jevů sleduje normální rozdělení. Například IQ lidské populace je normálně rozděleno. Jak je vidět z grafu, je unimodální, symetrický podle průměru a zvonovitý. Průměr, modus a medián se shodují. Plocha pod křivkou odpovídá části populace splňující danou podmínku.

Podíl populace v intervalu [latex] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/latex] jsou přibližně 68,2 %, 95,6 % a 99,8 % respektive.

Jaký je rozdíl mezi binomickým a normálním rozdělením?

• Binomické rozdělení je diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, zatímco normální rozdělení je spojité.
• Funkce hmotnosti pravděpodobnosti binomického rozdělení je [latex]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latex], zatímco funkce hustoty pravděpodobnosti normálního rozdělení je [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
• Binomické rozdělení se za určitých podmínek aproximuje normálnímu rozdělení, ale ne naopak.