Paralelogram vs kosočtverec
Paralelogram a kosočtverec jsou čtyřúhelníky. Geometrie těchto obrazců byla lidem známa po tisíce let. Toto téma je výslovně zpracováno v knize „Elements“, kterou napsal řecký matematik Euclid.
Paralelogram
Paralelogram lze definovat jako geometrický útvar se čtyřmi stranami, přičemž protilehlé strany jsou vzájemně rovnoběžné. Přesněji se jedná o čtyřúhelník se dvěma páry rovnoběžných stran. Tato paralelní povaha dává mnoho geometrických charakteristik rovnoběžníkům.
Čtyřúhelník je rovnoběžník, pokud jsou nalezeny následující geometrické charakteristiky.
• Dva páry protilehlých stran mají stejnou délku. (AB=DC, AD=BC)
• Dva páry protilehlých úhlů mají stejnou velikost. ([latex]D\klobouk{A}B=B\klobouk{C}D, A\klobouk{D}C=A\klobouk{B}C[/latex])
• Pokud jsou sousední úhly doplňkové [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Dvojice stran, které jsou proti sobě, je rovnoběžná a stejně dlouhá. (AB=DC & AB∥DC)
• Úhlopříčky se vzájemně půlí (AO=OC, BO=OD)
• Každá úhlopříčka rozděluje čtyřúhelník na dva shodné trojúhelníky. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Součet čtverců stran se dále rovná součtu čtverců úhlopříček. To je někdy označováno jako zákon rovnoběžníku a má široké použití ve fyzice a inženýrství. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Každou z výše uvedených charakteristik lze použít jako vlastnosti, jakmile se zjistí, že čtyřúhelník je rovnoběžník.
Plochu rovnoběžníku lze vypočítat jako součin délky jedné strany a výšky na opačné straně. Plochu rovnoběžníku lze tedy uvést jako
Plocha rovnoběžníku=základna × výška=AB×h
Plocha rovnoběžníku je nezávislá na tvaru jednotlivého rovnoběžníku. Závisí pouze na délce základny a kolmé výšce.
Pokud lze strany rovnoběžníku znázornit dvěma vektory, lze plochu získat velikostí vektorového součinu (křížového součinu) dvou sousedních vektorů.
Pokud jsou strany AB a AD reprezentovány vektory ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) a ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]), plocha rovnoběžník je dán vztahem [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], kde α je úhel mezi [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] a [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
Následují některé pokročilé vlastnosti rovnoběžníku;
• Plocha rovnoběžníku je dvojnásobkem plochy trojúhelníku vytvořeného některou z jeho úhlopříček.
• Plocha rovnoběžníku je rozdělena na polovinu libovolnou přímkou procházející středem.
• Jakákoli nedegenerovaná afinní transformace přenese rovnoběžník na jiný rovnoběžník
• Rovnoběžník má rotační symetrii řádu 2
• Součet vzdáleností od jakéhokoli vnitřního bodu rovnoběžníku ke stranám je nezávislý na umístění bodu
Rhombus
Čtyřúhelník se všemi stranami stejně dlouhými je známý jako kosočtverec. To je také jmenováno jako rovnostranný čtyřúhelník. Má se za to, že má tvar kosočtverce, podobný tomu na hracích kartách.
Rhombus je také speciální případ rovnoběžníku. Lze jej považovat za rovnoběžník se všemi čtyřmi stranami stejnými. A má následující speciální vlastnosti, kromě vlastností rovnoběžníku.
• Úhlopříčky kosočtverce se vzájemně půlí v pravém úhlu; úhlopříčky jsou kolmé.
• Úhlopříčky půlí dva protilehlé vnitřní úhly.
• Alespoň dvě ze sousedních stran mají stejnou délku.
Plochu kosočtverce lze vypočítat stejnou metodou jako rovnoběžník.
Jaký je rozdíl mezi paralelogramem a kosočtvercem?
• Rovnoběžník a kosočtverec jsou čtyřúhelníky. Kosočtverec je speciální případ rovnoběžníků.
• Plochu libovolného lze vypočítat pomocí vzorce základ × výška.
• S ohledem na úhlopříčky;
– Úhlopříčky rovnoběžníku se navzájem půlí a protínají rovnoběžník tak, aby vytvořily dva shodné trojúhelníky.
– Úhlopříčky kosočtverce se navzájem půlí v pravém úhlu a vytvořené trojúhelníky jsou rovnostranné.
• S ohledem na vnitřní úhly;
– Protilehlé vnitřní úhly rovnoběžníku mají stejnou velikost. Dva sousední vnitřní úhly jsou doplňkové.
– Vnitřní úhly kosočtverce jsou půleny úhlopříčkami.
• S ohledem na strany;
– V rovnoběžníku se součet čtverců stran rovná součtu čtverců úhlopříčky (zákon rovnoběžníku).
– Protože jsou všechny čtyři strany v kosočtverci stejné, čtyřikrát se čtverec strany rovná součtu čtverců úhlopříčky.
