Lineární vs nelineární diferenciální rovnice
Rovnice obsahující alespoň jeden diferenciální koeficient nebo derivaci neznámé proměnné je známá jako diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice může být lineární nebo nelineární. Cílem tohoto článku je vysvětlit, co je lineární diferenciální rovnice, co je nelineární diferenciální rovnice a jaký je rozdíl mezi lineárními a nelineárními diferenciálními rovnicemi.
Od vývoje počtu v 18. století matematiky jako Newton a Leibnitz hraje diferenciální rovnice důležitou roli v příběhu matematiky. Diferenciální rovnice mají v matematice velký význam, protože mají řadu aplikací. Diferenciální rovnice jsou jádrem každého modelu, který vyvíjíme, abychom vysvětlili jakýkoli scénář nebo událost ve světě, ať už jde o fyziku, inženýrství, chemii, statistiku, finanční analýzu nebo biologii (seznam je nekonečný). Ve skutečnosti, dokud se počet nestal zavedenou teorií, nebyly k dispozici správné matematické nástroje k analýze zajímavých problémů v přírodě.
Výsledné rovnice ze specifické aplikace kalkulu mohou být velmi složité a někdy neřešitelné. Existují však takové, které můžeme vyřešit, ale mohou vypadat podobně a matoucí. Pro snadnější identifikaci jsou proto diferenciální rovnice kategorizovány podle jejich matematického chování. Lineární a nelineární je jednou z takových kategorizací. Je důležité identifikovat rozdíl mezi lineárními a nelineárními diferenciálními rovnicemi.
Co je lineární diferenciální rovnice?
Předpokládejme, že f: X→Y a f(x)=y, diferenciální rovnice bez nelineárních členů neznámé funkce y a jejích derivací je známá jako lineární diferenciální rovnice.
Ukládá podmínku, že y nemůže mít výrazy s vyšším indexem, jako je y2, y3, … a násobky derivátů, např. jako
Nemůže také obsahovat nelineární výrazy jako Sin y, e y ^-2 nebo ln y. Má podobu
kde y a g jsou funkce x. Rovnice je diferenciální rovnice řádu n, což je index derivace nejvyššího řádu.
V lineární diferenciální rovnici je diferenciální operátor lineárním operátorem a řešení tvoří vektorový prostor. V důsledku lineární povahy sady řešení je lineární kombinace řešení také řešením diferenciální rovnice. To znamená, že pokud y1 a y2 jsou řešením diferenciální rovnice, pak C1 y 1+ C2 y2 je také řešení.
Linearita rovnice je pouze jedním parametrem klasifikace a lze ji dále kategorizovat na homogenní nebo nehomogenní a obyčejné nebo parciální diferenciální rovnice. Je-li funkce g=0, pak rovnice je lineární homogenní diferenciální rovnicí. Jestliže f je funkcí dvou nebo více nezávislých proměnných (f: X, T→Y) a f(x, t)=y, pak rovnice je lineární parciální diferenciální rovnice.
Metoda řešení diferenciální rovnice je závislá na typu a koeficientech diferenciální rovnice. Nejjednodušší případ nastává, když jsou koeficienty konstantní. Klasickým příkladem pro tento případ je druhý Newtonův pohybový zákon a jeho různé aplikace. Druhý Newtonův zákon vytváří lineární diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty.
Co je to nelineární diferenciální rovnice?
Rovnice, které obsahují nelineární členy, jsou známé jako nelineární diferenciální rovnice.
Vše výše uvedené jsou nelineární diferenciální rovnice. Nelineární diferenciální rovnice se obtížně řeší, a proto je k získání správného řešení nutné podrobné studium. V případě parciálních diferenciálních rovnic nemá většina rovnic žádné obecné řešení. Proto musí být každá rovnice zpracována nezávisle.
Navier-Stokesova rovnice a Eulerova rovnice v dynamice tekutin, Einsteinovy rovnice pole obecné teorie relativity jsou dobře známé nelineární parciální diferenciální rovnice. Někdy může aplikace Lagrangeovy rovnice na proměnný systém vyústit v systém nelineárních parciálních diferenciálních rovnic.
Jaký je rozdíl mezi lineárními a nelineárními diferenciálními rovnicemi?
• Diferenciální rovnice, která má pouze lineární členy neznámé nebo závislé proměnné a jejích derivací, je známá jako lineární diferenciální rovnice. Nemá žádný člen se závisle proměnnou indexu vyšší než 1 a neobsahuje žádný násobek jejích derivátů. Nemůže mít nelineární funkce, jako jsou goniometrické funkce, exponenciální funkce a logaritmické funkce vzhledem k závislé proměnné. Jakákoli diferenciální rovnice, která obsahuje výše uvedené členy, je nelineární diferenciální rovnicí.
• Řešení lineárních diferenciálních rovnic vytváří vektorový prostor a diferenciální operátor je také lineárním operátorem ve vektorovém prostoru.
• Řešení lineárních diferenciálních rovnic jsou relativně jednodušší a existují obecná řešení. Pro nelineární rovnice ve většině případů obecné řešení neexistuje a řešení může být specifické pro problém. To dělá řešení mnohem obtížnější než lineární rovnice.
