Rozdílová rovnice vs diferenciální rovnice
Přírodní jev lze popsat matematicky funkcemi řady nezávislých proměnných a parametrů. Zvláště když jsou vyjádřeny funkcí prostorové polohy a času, výsledkem jsou rovnice. Funkce se může změnit se změnou nezávislých proměnných nebo parametrů. Infinitezimální změna, ke které dojde ve funkci, když se změní jedna z jejích proměnných, se nazývá derivace této funkce.
Diferenciální rovnice je jakákoli rovnice, která obsahuje derivace funkce i funkci samotnou. Jednoduchá diferenciální rovnice je rovnicí Newtonova druhého pohybového zákona. Pokud se objekt o hmotnosti m pohybuje se zrychlením „a“a působí na něj silou F, pak nám druhý Newtonův zákon říká, že F=ma. Zde se opět ‚a‘mění s časem, ‚a‘můžeme přepsat jako; a=dv/dt; v je rychlost. Rychlost je funkcí prostoru a času, tedy v=ds/dt; proto ‚a‘=d2s/dt2
S ohledem na tyto skutečnosti můžeme přepsat druhý Newtonův zákon jako diferenciální rovnici;
‘F‘jako funkce v a t – F(v, t)=mdv/dt nebo
'F' jako funkce sat – F(s, ds/dt, t)=m d2s/dt2
Existují dva typy diferenciálních rovnic; obyčejná diferenciální rovnice, zkráceně ODR nebo parciální diferenciální rovnice, zkráceně PDE. Obyčejná diferenciální rovnice bude mít obyčejné derivace (deriváty pouze jedné proměnné). Parciální diferenciální rovnice bude mít v sobě diferenciální derivace (deriváty více než jedné proměnné).
např. F=m d2s/dt2 je ODR, zatímco α2 d 2u/dx2=du/dt je PDE, má deriváty t a x.
Diferenční rovnice je stejná jako diferenciální rovnice, ale díváme se na ni v jiném kontextu. V diferenciálních rovnicích je nezávislá proměnná, jako je čas, uvažována v kontextu spojitého časového systému. V diskrétním časovém systému nazýváme funkci jako diferenční rovnici.
Diferenční rovnice je funkcí rozdílů. Rozdíly v nezávislých proměnných jsou tři typy; posloupnost čísel, diskrétní dynamický systém a iterovaná funkce.
V posloupnosti čísel je změna generována rekurzivně pomocí pravidla, které spojuje každé číslo v posloupnosti s předchozími čísly v posloupnosti.
Diferenční rovnice v diskrétním dynamickém systému přijímá určitý diskrétní vstupní signál a vytváří výstupní signál.
Diferenční rovnice je iterovaná mapa pro iterovanou funkci. Např. y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(f(y0))), ….je posloupnost iterované funkce. f(y0) je první iterací y0 K-tá iterace bude označena fk (y0).
