Vzájemně exkluzivní vs. nezávislé akce
Lidé si často pletou koncept vzájemně se vylučujících událostí s nezávislými událostmi. Ve skutečnosti jsou to dvě různé věci.
Nechť A a B jsou libovolné dvě události spojené s náhodným experimentem E. P(A) se nazývá „pravděpodobnost A“. Podobně můžeme definovat pravděpodobnost B jako P(B), pravděpodobnost A nebo B jako P(A∪B) a pravděpodobnost A a B jako P(A∩B). Potom P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
O dvou událostech se však říká, že se vzájemně vylučují, pokud výskyt jedné události neovlivňuje druhou. Jinými slovy, nemohou se vyskytovat současně. Pokud se tedy dvě události A a B vzájemně vylučují, pak A∩B=∅, a tedy to znamená P(A∪B)=P(A)+ P(B).
Nechť A a B jsou dvě události ve vzorovém prostoru S. Podmíněná pravděpodobnost A za předpokladu, že nastala B, je označena P(A | B) a je definována jako; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), za předpokladu P(B)>0. (jinak to není definováno.)
Událost A je považována za nezávislou na události B, pokud pravděpodobnost, že nastane A, není ovlivněna tím, zda B nastala nebo ne. Jinými slovy, výsledek události B nemá žádný vliv na výsledek události A. Proto P(A | B)=P(A). Podobně je B nezávislé na A, pokud P(B)=P(B | A). Můžeme tedy dojít k závěru, že pokud jsou A a B nezávislé události, pak P(A∩B)=P(A). P(B)
Předpokládejme, že se hodí očíslovaná kostka a hodí se poctivá mince. Nechť A je událost, že získání hlavy a B je událost, která hodí sudé číslo. Pak můžeme dojít k závěru, že události A a B jsou nezávislé, protože výsledek jednoho neovlivňuje výsledek druhého. Proto P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Protože P(A∩B)≠0, A a B se nemohou vzájemně vylučovat.
Předpokládejme, že urna obsahuje 7 bílých kuliček a 8 černých kuliček. Definujte událost A jako kreslení bílé kuličky a událost B jako kreslení černé kuličky. Za předpokladu, že každá kulička bude nahrazena po zapsání její barvy, pak P(A) a P(B) budou vždy stejné, bez ohledu na to, kolikrát z urny vytáhneme. Výměna kuliček znamená, že se pravděpodobnosti nemění od tahu k tahu, bez ohledu na to, jakou barvu jsme vybrali při posledním tahu. Proto jsou události A a B nezávislé.
Pokud se však kuličky kreslí bez náhrady, vše se změní. Za tohoto předpokladu události A a B nejsou nezávislé. První nakreslení bílé kuličky změní pravděpodobnost nakreslení černé kuličky při druhém tažení a tak dále. Jinými slovy, každé losování má vliv na další losování, takže jednotlivá losování nejsou nezávislá.
Rozdíl mezi vzájemně exkluzivními a nezávislými událostmi
– Vzájemná exkluzivita událostí znamená, že mezi množinami A a B nedochází k žádnému překrývání. Nezávislost událostí znamená, že se události A neovlivní děje B.
– Pokud se dvě události A a B vzájemně vylučují, pak P(A∩B)=0.
– Pokud jsou dvě události A a B nezávislé, pak P(A∩B)=P(A). P(B)
