Transitivní vlastnost vs substituční vlastnost
Vlastnost substituce se používá pro hodnoty nebo proměnné, které představují čísla. Substituční vlastnost rovnosti říká, že pro jakákoli čísla a a b, je-li a=b, pak a může být nahrazeno b. Pokud tedy a=b, můžeme změnit jakékoli „a“na „b“nebo jakékoli „b“na „a“.
Pokud je například dáno, že x=6, pak můžeme vyřešit výraz (x+4)/5 dosazením hodnoty x. Dosazením 5 za x ve výše uvedeném výrazu; (6+4)/5=2. Jakékoli dvě hodnoty lze v podstatě vzájemně nahradit, a to pouze tehdy, jsou-li si navzájem rovny.
V geometrii je definována substituční vlastnost. Podle této definice substituční vlastnosti, pokud jsou dva geometrické objekty (mohou to být dva úhly, segmenty, trojúhelníky nebo cokoli jiného) shodné, pak mohou být tyto dva geometrické objekty nahrazeny jedním jiným v příkazu zahrnujícím jeden z nich.
Transitivní vlastnost je formálnější definice, která je definována na binárních relacích. Relace R z množiny A do množiny B je množina uspořádaných dvojic, pokud jsou A a B stejné, říkáme, že relace je binární relací na A. Tranzitivní vlastnost je jedna z vlastností (reflexní, symetrická, Transitive) používá se k definování vztahů ekvivalence.
Relace R je tranzitivní právě tehdy, když x souvisí s R s y a y souvisí s R s z, pak x souvisí s R s z. Symbolicky lze tranzitivní vlastnost definovat následovně. Nechť a, b a c patřící do množiny A, binární relace ‚~‘má tranzitivní vlastnost definovanou vztahem, Jestliže a ~ b a b ~ c, pak to implikuje ~ c.
Například „být větší než“je tranzitivní vztah. Jestliže a, b a c jsou nějaká reálná čísla taková, že a je větší než b a b je větší než c, pak je logickým důsledkem, že a je větší než c. „Být vyšší“je také tranzitivní vztah. Pokud je Kate vyšší než Mary a Mary je vyšší než Jenney, znamená to, že Kate je vyšší než Jenney.
Kritéria tranzitivních vztahů nemůžeme použít na všechny binární vztahy. Pokud je například Bill Johnův otec a John je Fredův otec, což neznamená, že Bill je Fredův otec. Podobně „líbí se“je nepřechodná vlastnost. Pokud má Wilson rád Henryho a Henry má rád Davida, neznamená to, že Wilson má rád Davida. Nejedná se tedy o tranzitivní vztah.
V geometrii je tranzitivní vlastnost (pro tři segmenty nebo úhly) definována takto:
Pokud jsou dva segmenty (nebo úhly) každý shodný s třetím segmentem (nebo úhlem), pak jsou navzájem shodné.
Přechodná vlastnost rovnosti je definována následovně. Nechť a, b a c jsou libovolné tři prvky v množině A, takže a=bab=c, pak a=c. Vypadá to podobně jako substituční vlastnost, kterou lze považovat za nahrazení b za c v rovnici a=b. Tyto dvě vlastnosti však nejsou stejné.
