Náhodné proměnné vs rozdělení pravděpodobnosti
Statistické experimenty jsou náhodné experimenty, které lze neomezeně opakovat se známým souborem výsledků. S takovými experimenty jsou spojeny jak náhodné proměnné, tak rozdělení pravděpodobnosti. Pro každou náhodnou proměnnou existuje přidružené rozdělení pravděpodobnosti definované funkcí nazývanou kumulativní distribuční funkce.
Co je náhodná proměnná?
Náhodná proměnná je funkce, která přiřazuje číselné hodnoty výsledkům statistického experimentu. Jinými slovy, je to funkce definovaná ze vzorového prostoru statistického experimentu do množiny reálných čísel.
Zvažte například náhodný experiment, kdy si dvakrát hodíte mincí. Možné výsledky jsou HH, HT, TH a TT (H – hlavy, T – pohádky). Nechť proměnná X je počet hlav pozorovaných v experimentu. Potom může X nabývat hodnot 0, 1 nebo 2 a je to náhodná proměnná. Zde náhodná proměnná X bude mapovat množinu S={HH, HT, TH, TT} (vzorkový prostor) na množinu {0, 1, 2} tak, že HH je mapována na 2, HT a TH jsou mapovány na 1 a TT je mapovány na 0. Ve funkční notaci to lze zapsat jako, X: S → R kde X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 a X(TT)=0.
Existují dva typy náhodných proměnných: diskrétní a spojité, podle toho je počet možných hodnot, které může náhodná proměnná nabývat, nanejvýš spočítatelný nebo ne. V předchozím příkladu je náhodná proměnná X diskrétní náhodná proměnná, protože {0, 1, 2} je konečná množina. Nyní zvažte statistický experiment zjišťování vah studentů ve třídě. Nechť Y je náhodná veličina definovaná jako váha studenta. Y může nabývat jakékoliv reálné hodnoty v rámci určitého intervalu. Y je tedy spojitá náhodná proměnná.
Co je rozdělení pravděpodobnosti?
Rozdělení pravděpodobností je funkce, která popisuje pravděpodobnost, že náhodná proměnná nabývá určitých hodnot.
Funkci zvanou kumulativní distribuční funkce (F) lze definovat z množiny reálných čísel do množiny reálných čísel jako F(x)=P(X ≤ x) (pravděpodobnost, že X je menší než nebo rovno x) pro každý možný výsledek x. Nyní lze kumulativní distribuční funkci X v prvním příkladu zapsat jako F(a)=0, pokud a<0; F(a)=0,25, pokud 0 V případě diskrétních náhodných proměnných lze funkci definovat z množiny možných výsledků do množiny reálných čísel tak, že ƒ(x)=P(X=x) (pravděpodobnost X rovná se x) pro každý možný výsledek x. Tato konkrétní funkce ƒ se nazývá pravděpodobnostní hmotnostní funkce náhodné veličiny X. Nyní lze funkci hmotnosti pravděpodobnosti X v prvním konkrétním příkladu zapsat jako ƒ(0)=0,25, ƒ(1)=0,5, ƒ(2)=0,25 a ƒ(x)=0 jinak. Funkce hmotnosti pravděpodobnosti spolu s funkcí kumulativního rozdělení tedy bude popisovat rozdělení pravděpodobnosti X v prvním příkladu. V případě spojitých náhodných proměnných lze funkci zvanou funkce hustoty pravděpodobnosti (ƒ) definovat jako ƒ(x)=dF(x)/dx pro každé x, kde F je kumulativní distribuční funkce spojitá náhodná veličina. Je snadné vidět, že tato funkce splňuje ∫ƒ(x)dx=1. Funkce hustoty pravděpodobnosti spolu s funkcí kumulativního rozdělení popisuje rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny. Například normální rozdělení (což je spojité rozdělení pravděpodobnosti) je popsáno pomocí funkce hustoty pravděpodobnosti ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x- µ)]2/(2σ2)). Jaký je rozdíl mezi náhodnými proměnnými a rozdělením pravděpodobnosti? • Náhodná proměnná je funkce, která přiřazuje hodnoty vzorového prostoru reálnému číslu. • Distribuce pravděpodobnosti je funkce, která přiřazuje hodnoty, které může náhodná proměnná nabývat, k příslušné pravděpodobnosti výskytu.
