Logaritmické vs exponenciální | Exponenciální funkce vs logaritmická funkce
Funkce jsou jednou z nejdůležitějších tříd matematických objektů, které se široce používají téměř ve všech podoborech matematiky. Jak jejich názvy napovídají, jak exponenciální funkce, tak logaritmická funkce jsou dvě speciální funkce.
Funkce je vztah mezi dvěma množinami definovaným tak, že pro každý prvek v první množině je hodnota, která mu odpovídá ve druhé množině, jedinečná. Nechť ƒ je funkce definovaná z množiny A do množiny B. Potom pro každé x ϵ A symbol ƒ(x) označuje jedinečnou hodnotu v množině B, která odpovídá x. Říká se tomu obraz x pod ƒ. Relace ƒ z A do B je tedy funkcí právě tehdy, když pro každé x ϵ A a y ϵ A, jestliže x=y, pak ƒ(x)=ƒ(y). Množina A se nazývá definiční obor funkce ƒ a je to množina, ve které je funkce definována.
Co je exponenciální funkce?
Exponenciální funkce je funkce daná vztahem ƒ(x)=ex, kde e=lim(1 + 1/n) (≈ 2,718…) a je transcendentálním iracionálním číslem. Jednou ze specialit funkce je, že derivace funkce je rovna sama sobě; tj. když y=ex, dy/dx=ex Funkce je také všude spojitá rostoucí funkce, která má osu x jako asymptotu. Funkce je tedy také jedna ku jedné. Pro každé x ϵ R máme toto ex> 0 a lze ukázat, že je na R + Také následuje základní identita ex+y=exey a e0 =1. Funkci lze také znázornit pomocí rozšíření řady dané 1 + x/1! + x2/2! + x3/3! + … + x/n! + …
Co je logaritmická funkce?
Logaritmická funkce je inverzní funkcí exponenciální funkce. Protože exponenciální funkce je jedna ku jedné a na R +, funkce g může být definována z množiny kladných reálných čísel do množiny reálných čísel daných pomocí g(y)=x, právě když, y=ex Tato funkce g se nazývá logaritmická funkce nebo nejčastěji jako přirozený logaritmus. Označuje se g(x)=log ex=ln x. Protože je to inverzní funkce exponenciální funkce, vezmeme-li odraz grafu exponenciální funkce přes přímku y=x, budeme mít graf logaritmické funkce. Funkce je tedy asymptotická vzhledem k ose y.
Logaritmická funkce se řídí některými základními pravidly, z nichž nejdůležitější jsou ln xy=ln x + ln y, ln x/y=ln x – ln y a ln xy=y ln x. Toto je také rostoucí funkce a je kontinuální všude. Proto je také jedna ku jedné. Lze ukázat, že je na R.
Jaký je rozdíl mezi exponenciální funkcí a logaritmickou funkcí?
• Exponenciální funkce je dána vztahem ƒ(x)=ex, zatímco logaritmická funkce je dána vztahem g(x)=ln x a první je inverzí k poslední.
• Definičním oborem exponenciální funkce je množina reálných čísel, ale oborem logaritmické funkce je množina kladných reálných čísel.
• Rozsah exponenciální funkce je množina kladných reálných čísel, ale rozsah logaritmické funkce je množina reálných čísel.
