Podmnožiny vs správné podmnožiny
Je zcela přirozené realizovat svět prostřednictvím kategorizace věcí do skupin. To je základ matematického konceptu zvaného „Teorie množin“. Teorie množin byla vyvinuta na konci devatenáctého století a nyní je v matematice všudypřítomná. Téměř veškerou matematiku lze odvodit pomocí teorie množin jako základu. Aplikace teorie množin sahá od abstraktní matematiky až po všechny předměty v hmotném fyzickém světě.
Podmnožina a Vlastní podmnožina jsou dvě terminologie často používané v Teorii množin k zavedení vztahů mezi množinami.
Pokud je každý prvek v množině A také členem množiny B, pak se množina A nazývá podmnožinou B. To lze také číst jako „A je obsažena v B“. Formálněji je A podmnožinou B, značenou A⊆B, jestliže x∈A implikuje x∈B.
Jakákoli množina sama o sobě je podmnožinou stejné množiny, protože každý prvek, který je v množině, bude samozřejmě také ve stejné množině. Říkáme „A je vlastní podmnožinou B“, jestliže A je podmnožinou B, ale A není rovno B. K označení, že A je vlastní podmnožinou B, použijeme označení A⊂B. Například množina {1, 2} má 4 podmnožiny, ale pouze 3 vlastní podmnožiny. Protože {1, 2} je podmnožinou, ale není správnou podmnožinou {1, 2}.
Pokud je množina vlastní podmnožinou jiné množiny, je vždy podmnožinou této množiny (tj. pokud A je vlastní podmnožinou B, znamená to, že A je podmnožinou B). Mohou však existovat podmnožiny, které nejsou správnými podmnožinami jejich nadmnožiny. Pokud jsou dvě množiny stejné, pak jsou podmnožinami jedna druhé, ale nejsou vlastní podmnožinou.
Ve zkratce:
– Je-li A podmnožinou B, pak A a B se mohou rovnat.
– Je-li A vlastní podmnožinou B, pak A nemůže být rovno B.
