Rozdíl mezi aritmetickými a geometrickými řadami

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-12-17 13:34

Aritmetika vs geometrická řada

Matematická definice řady úzce souvisí s posloupnostmi. Posloupnost je uspořádaná množina čísel a může být buď konečná, nebo nekonečná. Posloupnost čísel s rozdílem mezi dvěma prvky, které jsou konstantou, se nazývá aritmetická progrese. Posloupnost s konstantním podílem dvou po sobě jdoucích čísel je známá jako geometrická progrese. Tyto posloupnosti mohou být konečné nebo nekonečné, a pokud jsou konečné, počet členů je spočetný, jinak nepočitatelný.

Obecně lze součet prvků v progresi definovat jako řadu. Součet aritmetické posloupnosti je známý jako aritmetická řada. Podobně je součet geometrické posloupnosti známý jako geometrická řada.

Více o aritmetické sérii

V aritmetické řadě mají po sobě následující členy konstantní rozdíl.

S_n =a₁ + a₂ + a_{3+ a}4 _{+⋯+ a}n _=∑i=1_ai_{; kde a}2 _=a1 _{+ d, a}3 _=a2 _{+ d a tak dále.}

Tento rozdíl d je známý jako běžný rozdíl a n^th výraz je dán a_n =a ₁+ (n-1)d; kde a_{1 je první člen.}

Chování série se mění na základě společného rozdílu d. Pokud je společný rozdíl kladný, má progrese tendenci být kladné nekonečno, a pokud je společný rozdíl záporný, směřuje k zápornému nekonečnu.

Součet řady lze získat pomocí následujícího jednoduchého vzorce, který jako první vyvinul indický astronom a matematik Aryabhata.

S_n =n/2 (a₁+ a_n)=n/2 [2a_{1 + (n-1)d]}

Součet S_{n může být konečný nebo nekonečný v závislosti na počtu členů.}

Více o Geometric Series

Geometrická řada je řada s konstantou podílu postupných čísel. Je to důležitá série nalezená při studiu série kvůli vlastnostem, které má.

S_n =ar + ar² + ar³ +⋯+ ar ⁿ =∑_i=1 arⁱ

Na základě poměru r lze chování série kategorizovat následovně. r={|r|≥1 řada diverguje; r≤1 řada konverguje}. Také, pokud r<0 řada osciluje, tj. řada má střídavé hodnoty.

Součet geometrických řad lze vypočítat pomocí následujícího vzorce. S_n =a(1-r) / (1-r); kde a je počáteční člen a r je poměr. Pokud je poměr r≤1, řada konverguje. Pro nekonečnou řadu je hodnota konvergence dána vztahem S_{n=a / (1-r).}

Geometrické řady mají četné aplikace v oblasti fyzikálních věd, inženýrství a ekonomie

Jaký je rozdíl mezi aritmetickými a geometrickými řadami?

• Aritmetická řada je řada s konstantním rozdílem mezi dvěma sousedními členy.

• Geometrická řada je řada s konstantním kvocientem mezi dvěma po sobě jdoucími členy.

• Všechny nekonečné aritmetické řady jsou vždy divergentní, ale v závislosti na poměru mohou být geometrické řady konvergentní nebo divergentní.

• Geometrické řady mohou mít oscilace hodnot; to znamená, že čísla střídavě mění svá znaménka, ale aritmetická řada nemůže mít oscilace.