Rozdíl mezi aritmetickou a geometrickou posloupností

2024 Autor: Alex Aldridge | [email protected]. Naposledy změněno: 2024-01-17 23:27

Aritmetická posloupnost vs geometrická posloupnost

Studium vzorců čísel a jejich chování je důležitou studií v oblasti matematiky. Tyto vzorce lze často vidět v přírodě a pomáhají nám vysvětlit jejich chování z vědeckého hlediska. Aritmetické posloupnosti a geometrické posloupnosti jsou dva základní vzorce, které se vyskytují v číslech a často se vyskytují v přírodních jevech.

Posloupnost je sada uspořádaných čísel. Počet prvků v posloupnosti může být konečný nebo nekonečný.

Více o aritmetické posloupnosti (aritmetrické progresi)

Aritmetická posloupnost je definována jako posloupnost čísel s konstantním rozdílem mezi každým po sobě jdoucím členem. Je také známá jako aritmetická progrese.

Aritmetická posloupnost ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; kde a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d a tak dále.}

Pokud je počáteční člen a₁ a společný rozdíl je d, pak je n^{th člen posloupnosti dán;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Pokračováním výše uvedeného výsledku lze n^{th výraz uvést také jako;}

a_n =a_m + (n-m)d, kde a_{m je náhodný výraz v takovém pořadí, že n > m.}

Sada sudých čísel a sada lichých čísel jsou nejjednodušší příklady aritmetických posloupností, kde každá posloupnost má společný rozdíl (d) 2.

Počet členů v posloupnosti může být nekonečný nebo konečný. V nekonečném případě (n → ∞) má posloupnost tendenci k nekonečnu v závislosti na společném rozdílu (a_{n → ±∞). Je-li společný rozdíl kladný (d > 0), má posloupnost sklon k kladnému nekonečnu a je-li společný rozdíl záporný (d < 0), směřuje k zápornému nekonečnu. Pokud jsou členy konečné, posloupnost je také konečná.}

Součet členů v aritmetické posloupnosti je známý jako aritmetická řada: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{a S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] udává hodnotu série (S}n)

Více o geometrické posloupnosti (Geometric Progression)

Geometrická posloupnost je definována jako posloupnost, ve které je podíl libovolných dvou po sobě jdoucích členů konstantní. Toto je také známé jako geometrická progrese.

Geometrická posloupnost ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; kde a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r a tak dále, kde r je reálné číslo.}

Je jednodušší znázornit geometrickou posloupnost pomocí společného poměru (r) a počátečního členu (a). Odtud geometrická posloupnost ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

Obecný tvar n^th výrazů daný a_n =a₁r ^n-1. (Ztráta indexu počátečního výrazu ⇒ a_n =ar^n-1)

Geometrická posloupnost může být také konečná nebo nekonečná. Pokud je počet členů konečný, říká se, že posloupnost je konečná. A pokud jsou členy nekonečné, posloupnost může být buď nekonečná, nebo konečná v závislosti na poměru r. Společný poměr ovlivňuje mnoho vlastností v geometrických posloupnostech.

r > o	0 < r < +1	Posloupnost konverguje – exponenciální rozpad, tj. an → 0, n → ∞
	r=1	Konstantní posloupnost, tj. an=konstanta
	r > 1	Sekvence se rozchází – exponenciální růst, tj. an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Sekvence osciluje, ale konverguje
	r=1	Posloupnost je střídající se a konstantní, tj. an=±konstanta
	r < -1	Posloupnost se střídá a rozchází se. tj. an → ±∞, n → ∞
r=0	Posloupnost je řetězec nul

N. B: Ve všech výše uvedených případech a₁ > 0; pokud a₁ < 0, budou znaménka související s a_{n obrácena.}

Časový interval mezi odskoky míče sleduje geometrickou sekvenci v ideálním modelu a je to konvergentní sekvence.

Součet členů geometrické posloupnosti je známý jako geometrická řada; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. Součet geometrických řad lze vypočítat pomocí následujícího vzorce.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); kde a je počáteční člen a r je poměr.}

Pokud je poměr r ≤ 1, řada konverguje. Pro nekonečnou řadu je hodnota konvergence dána vztahem S_n=a/(1-r)

Jaký je rozdíl mezi aritmetickou a geometrickou posloupností/progresí?

• V aritmetické posloupnosti mají jakékoli dva po sobě jdoucí členy společný rozdíl (d), zatímco v geometrické posloupnosti mají libovolné dva po sobě jdoucí členy konstantní podíl (r).

• V aritmetické posloupnosti je variace členů lineární, tj. lze nakreslit přímku procházející všemi body. V geometrické řadě je variace exponenciální; buď roste, nebo upadá na základě společného poměru.

• Všechny nekonečné aritmetické posloupnosti jsou divergentní, zatímco nekonečné geometrické řady mohou být divergentní nebo konvergentní.

• Geometrické řady mohou vykazovat oscilaci, pokud je poměr r záporný, zatímco aritmetická řada oscilaci nezobrazuje