Určité vs. neurčité integrály
Kalkul je důležitým odvětvím matematiky a diferenciace hraje v kalkulu klíčovou roli. Inverzní proces diferenciace se nazývá integrace a inverzní proces je známý jako integrál, nebo jednoduše řečeno, inverzní proces derivace dává integrál. Na základě výsledků, které produkují, jsou integrály rozděleny do dvou tříd; určité a neurčité integrály.
Více o neurčitých integrálech
Neurčitý integrál je spíše obecnou formou integrace a lze jej interpretovat jako anti-derivaci uvažované funkce. Předpokládejme, že derivace F dá f a integrace f dá integrál. Často se zapisuje jako F(x)=∫ƒ(x)dx nebo F=∫ƒ dx, kde F i ƒ jsou funkce x a F je diferencovatelná. Ve výše uvedeném tvaru se nazývá Reimannův integrál a výsledná funkce doprovází libovolnou konstantu. Neurčitý integrál často vytváří rodinu funkcí; integrál je tedy neurčitý.
Integrály a integrační proces jsou jádrem řešení diferenciálních rovnic. Na rozdíl od diferenciace však integrace neprobíhá vždy podle jasné a standardní rutiny; někdy nelze řešení vyjádřit explicitně pomocí elementární funkce. V takovém případě je analytické řešení často dáno ve formě neurčitého integrálu.
Více o Definite Integrals
Určité integrály jsou velmi ceněnými protějšky neurčitých integrálů, kde integrační proces ve skutečnosti produkuje konečné číslo. Lze ji graficky definovat jako oblast ohraničenou křivkou funkce ƒ v daném intervalu. Kdykoli je integrace provedena v daném intervalu nezávislé proměnné, integrace vytvoří určitou hodnotu, která se často zapisuje jako a∫bƒ(x) dx nebo a∫b ƒdx.
Neurčité integrály a určité integrály jsou propojeny prostřednictvím první základní věty počtu, což umožňuje vypočítat určitý integrál pomocí neurčitých integrálů. Věta říká a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a), kde F i ƒ jsou funkcemi x a F je diferencovatelná v intervalu (a, b). Pokud vezmeme v úvahu interval, a a b jsou známé jako dolní mez a horní mez.
Namísto zastavení pouze u reálných funkcí lze integraci rozšířit na komplexní funkce a tyto integrály se nazývají obrysové integrály, kde ƒ je funkcí komplexní proměnné.
Jaký je rozdíl mezi určitými a neurčitými integrály?
Neurčité integrály představují anti-derivát funkce a často spíše rodinu funkcí než určité řešení. V určitých integrálech dává integrace konečné číslo.
Neurčité integrály sdružují libovolnou proměnnou (odtud rodina funkcí) a určité integrály nemají libovolnou konstantu, ale horní mez a dolní mez integrace.
Neurčitý integrál obvykle poskytuje obecné řešení diferenciální rovnice.
